IX. — Sur un théorème de M. Hermite

Relations entre les fonctions 3. Théorèmes d'addition.

272. C'est à la théorie des fonctions rf que nous avons rattaché la définition et les propriétés des fonctions 2r, Toutefois, nous avons vu comment, dans bien des cas, il était tout aussi facile d'établir ces propriétés en partant de l'expression même de ces fonctions et, en particulier, de celle de la fonction

qui est très simple.

M. Hermite a montré comment on pouvait prendre pour point de départ des séries analogues à celle qui précède pour engendrer des fonctions plus générales, en un certain sens, que les fonctions St, qui toutefois, au moins dans le cas que nous considérons spécialement dans ce paragraphe, ne sont pas autre chose que

{') Dans un Mémoire inséri! au Tome XLIII des Alathematische Annaten, JVI. Kraier a résotn cette question et même une question plus générale. La méthode suiïie par M. Kraier, où interviennent les séries trigonométriques et ces sommes de Gauss qui araient déjà permia à M. Hermite de traiter le cas de la transformation linéaire, n'est pas de nature à être développée ici : nous nous

5 FOKCTIONS S.

des combinaisons très simples de fonctions exponentielles et de fonctions & prises avec des arguments convenables. L'illustre auteur a en outre établi, relativement à ces fonctions ainsi formées, une proposition très importante qui peut servir de principe dans

contenterons d'indiqaer les notations dont se sert M. Kraïer (ni aassi celles employées par MM. rrym et Krazer dans leur Ouvrage ; Neue Grundlagen einer Théorie der allgemeinen Tliêlafunetionen), et la nature du problème qu'il traïLe.

Il désigne par le symbole

oii ni prend toutes les valeurs entières; a est la même quantité que n gpons par Titî'; u est la variable que noua désignons par vici; g, h sont s tantes réelles quelconques. Pour nous rapprocher de nos notations, no dérerons, en lui donnant ic sens précédemment déPini, le symbole

ribuant à §■ et à h, dans ce symbole, les valeurs o, o; o, -; -t o; -. -,

e les quatre fonctions S^tulT), Sr.d-I t), &,( i. | t), (S,( c | t).

i posé, en désignant par a, b, c, d des nombres entiers dont le déterminj

mbrcyîni de fonctions

ithodc suivie par M. Krazer consiste à décomposer la transformation transformations de types déterminés à coetQcients rationnels, et â

établir la formule de transformation pour ces transformations particulières. En combinant ces formules, il parvient à la formule générale, qui appartient bien au type que nous avons décrit dans le texte; mais cette formule, d'ailleurs assez compliquée, est e3;/iJiciie, et n'implique pas un calcul arithmétique ausiliaire comme celui des nombres y., ^.

la ihcorie des fondions doublemenl périodiques ; nous allon: donner, d'après lui, quelques indications sur ce sujet.

273. Soil /( un entier positif et considérons la fonction ${«) définie par l'égalité

OÙ les „ sont des constantes qui se reproduisent périodiquement de h en h. Puisque la valeur absolue de q est plus petite que i , ii est clair que la série qui figure dans le second membre est absolument convergente et définit une fonction transcendante entière de la variable « ; cette fonction admet manifestement la période a w, . D'ailleurs, en décomposant en carrés l'exposant de e regardé comme un trinôme du second degré en n, on obtient

d'où l'oa conclu

Si l'on cliangc // en u -h aw^, le second membre dcmmeiit pas, à cause de l'hj'polhèse

change évi

il en résulte que le premier membre admet 1 l'on en conclut immédiatement

C'est là une propriété analogue blics pour les fonctions 3.

R de celles

1 ont été eta-

274. Le théorème de M. Hermite consiste en ce que la fonction *(«), formée comme on vient de l'expliquer, est la fonction transcendante entière la plus générale qui jouisse des deux pro-

prié Lé S

Considérons, eu effel, une fonction transcendanlc entière '!•(") i^ni jouisse de ces propriétés. Puisqu'elle admet a tu, pour période, c'est une fonction univoque de

car cette dernière équation fait correspondre à chaque valeur de x une Infinité de valeurs de u en progression arithmétique de raison Q(i)( pour lesquelles la fonction '!>(«) doit reprendre la même valeur; en d'autres termes, la fonction

n'a qu'une seule valeur, quelle que soit la détermination choisie pour log^ ; d'ailleurs aux environs de toute valeur ic, différente de zéro, l'une quelconque des déterminatious de la fonction loga: est régulière; il en est donc de même de la fonction de X précédemment déGnie, puisque ^{«) est, par hypotKèse, une fonction (transcendante) entière. Maïs alors, ea vertu du théorème du commandant Laurent, cette fonction de œ peut être mise sous la

les quantités Ah étant des coefficients indépendants de x. En modifiant un peu ces coefficients, on peut donc écrire

doit, par hypothèse, admettre la période 'icjj, il doit en être de

l54 CALCUL DIFFÉREKTIiîL.

même de la foncllou

on en conclut, en changeant ;( en u + awj et « en n — k,

or le développement, suivant les puissances entières positives et négatives de x, d'une fonction unîvoque de x, régulière aux environs de chai^ue point x, sauf le point a: ^= o, ne peut être effectué f|ue d'une seule façon; on a donc

A„= A„-ft; c'est ce qu'il fallait démontrer.

fiic-j^-^K'/i-'i^' {A„H-y.= A.),

dans la théorie des fonctions doiihlement périodiques, résulte de la remarque suivante : Une telle fonction, outre les données u,, 11)3, /i, contient h constantes arbitraires Ao, A.,, , . ., A^.,, Considérons une autre fonction W(m) formée de la même manière avec d'autres constantes Bo, B, , . . . , B4 i ; on volt de suite, en se reportant aux propriétés fondamentales de la fonction <!•, que l'expression

a désigne encore une constante arbitraire, admet les deux pé-

odes 3Wi, aw}. Voici donc une manière de former, par le quo-

t de deux fonctions transcendantes entières, une fonction dou-

LES FONCTIONS 5. i55

blemcnl périodir^iiej conlenaiiL 2/1 constantes arbitraires, savoir;

Aç Al A/,--i ^ B/,^

'*' B(,' B„' ■■" B(, ' Bo" '"' li„ '

On verra plus tard <jilb c'est l'expression la plus générale des fonctions doublement périodiques univoques n'admettant pas d'autre singularité que des pôles el ayant h pôles daos le parallélogramme des périodes.

â7fi. Revenons à la fonction 5>{fi)- On peut, en réunissant dans la série qui la déûnit les termes qui ont un même coefficient, l'exprimer comme il suit

*(m) = Ao'ï'u-l-Al<^l-

en posant

Dans ces formules, /■ est l'un quelconque des nombres o, i, ■3., . . ., h — l; on peul même lui donner telle valeur entière que l'on voudra, pourvu que l'on convienne que le symbole $r(") représente toujours la même fonction quand on remplace le nombre entier r par un autre qui lui soit congru suivant le module h.

Sur la première définitiou de la fonction *r(H), on voit immédiatement que l'on a

»,(. H- îf!)=.™ *,(»).

Sur la dernière, au contraire, en désignant par s un entier quelconque et en remplaçant m' par u + s——> on aperçoit de suite la propriété qu'exprime l'égalité

CALCUL DirPÉRENTlEL.

Si l'on prend en particulier /■ = o, el que l'on écrive ensuite ;■ au lieu de s, on a

on a d'ailleurs

et, par suite,

(LV,) ■J>,(i() = g* e2'-''it03(/(C + rT | /(■:).

Remarquons en passant que, puisque l'on connaît les zéros de la fonction ^3, on a par cela même les z.érosde la fonction <[>r(«)-

277. De ce que * (m) est la fonction la plus générale vérifiant les équations (LV^) on déduit, entre autres conséquences, en remarquant que, pour h = i , on a

oii Aj est une constante arbitraire, que Ao&3(f) est la fonction entière la plus générale /(f ) qui vérifie les den>t équations fonctionnelles

et cette propriété peut servir de dciinition à la fonction 3;i (v) si l'on y joint la valeur de Sîj (o).

278. Nous allons maintenant, en l'appliquant à quelques exemples, moùtrer la portée du théorème de M. Hermite.

Considérons d'abord les carrés des quatre fonctions 3/ j-

En désignant par *(k) l'un quelconque de ces carrés et en se reportant aux formules (XXXIVa,^), on voit de suite que la

LES FOSCTIOKS &. i57

fonction * {«) jouîl des propricLés

Ces équations ne sont autres qae les équations fonctionnelles fondamentales dans le cas de A ^= a. Il résiilte de là que les quatre fonctions S^(p) sont, d'après le théorème de M. Hermite, des fonctions linéaires des deux fonctions 4'|>(«), ^,{11). Or, deux de ces équations linéaires qui expriraenl SJ{f), S^(i'), 3|(c), 3i(i') linéairement en *o> "I"! peuvent être résolues par rapport à $0, "ti ; car autrement il faudrait que les carrés des fonctions 3 correspondantes fussent dans un ra[Dport constant, ce qui est impossible, puisque ces fonctions n'ont pas les mêmes zéros. En portant les valeurs trouvées pour *„, *, dans les équations qui n'ont pas été utilisées, on voit que les carrés de deux quelconques des fonctions & doivent pouvoir s'exprimer linéairement au moyen des carrés des deux autres fonctions 3. On doit donc avoir des relations telles que

où A., A', 13, B' sont des constantes que l'on déterminera en faisant successivement c^o, ii =1 — — i; on obtiendra ainsi, en tenant compte des formules (XXXIVg, XXXVIl).»),

On

a donc