LVI

l58 CAtCTJL CIBFÉIIENTIKL,

En posant, dans la dernière relation, c=^ el faisani usage (les formules (XXXIV^), on troiive

cl, l'on oljlienl ainsi une seconde démonstration des égalités f:^+L"-^,, 3Uo) = 3|(o) + âU<>)-

Au surplus, les relations si simples que nous venons de déduire du théorème de M. Hermite ne diffèrent pas, au fond, des rela-

ainsi qu'il résulte des formules de passage des fonctions d aux fonctions ^.

Observons aussi qu'en faisant usage des relations (LVI,), on transforme aiséixient l'une dans l'antre les trois expressions données au n° 260 pour chacune des fonctions S(n(' | «t) au moyen des fonctions 3(c ji;).

279. Nous avons dit plus haut que les carrés des fonctions & s'expriment linéairement au moyen des fonctions

*,(„) = q-K^-^'%{2^-^ ^ h^) = âsCaol 2T).

Nous laissons au lecteur le soin de déterminer les coefficients et de parvenir par cette nouvelle voie aux formules (XLVlIj) qui expriment SI3 (ai^ | a-ï), ^^(acIaT) au moyen des carres des fonctions 2t (f)-

Par le même procédé on reconnaîtra encore que les quatre fonctions

oii 1: est une constante, sont des fonctions linéaires des cariés de deux quelconques des fonctions 2r(v). Les constantes se détermineront comme tout à l'heure et l'on obtiendra ainsi des formules qui ne diffèrent pas, au fond, des relations {XVi 3) entre les fonctions tf. Parmi ces formules, nous nous contenterons

LES FOriCiiONS S, iSg

d'écrire les siiivanics :

( ^U,io)%i^ + c)^,i^'-c)= 3â+,(c)3|(0-3i(c)ââ+i(<'),

280. n convient de joindre à ces relalions des relations analogues, mais où figurent des fonctions 3 avec des indices différenls. On pourra les obtenir par une voie analogue, si l'on observe que l'analyse du n" 27i permet de trouver les fonctions transcendantes entières les plus gcnéraScs qui satisfont aux équations fonctionnelles

où les symboles i, s' désignent soit + i, soit — i. Dans chacun des quatre cas possibles, comme dans le cas s^\, t'^i, les fonctions cherchées se composent linéairement avec h fonctions transcendantes entières parfaitementdéterminées. Cette remarque suffît, pour le problème qui nous occupe, à prouver l'existence de relations de la forme

S„{« + <;)%(<) -c) = A'Sri(<.)Sr^(.)-^B'S„(«)Sp(^),

où y., y., V, p sont les nombres i, 2, 3, /\, rangés dans un certain ordre, et -où A, D, A', B' sont des quantités indépendantes de c, qu'on détermine en supposant c = o, -1 -■ Le lecteur pourra appliquer celle méthode, ou encore déduire les résultats des formules (XV^) et (S.V3) en passant des d au 3; nous nous contenterons de transcrire les résultats.

(LVIO

yGoosle

(LVIO

281. Ah resle, touies ces relations, que nous avons tenu à écrire, à cause de l'usage qu'on peut avoir à en faire, sont des cas particuliers d'une identité générale, de même que les relations équivalentes entre les fonctions ci (XV, 5 ) sont des conséquences de l'identité (VII2), établie au n''96. Pour déduire de celte identité l'identité correspondante entre les fonctions S, il suffira de remplacer la fonction rf par son expression au moyen de la fonction Si et de remarquer que l'on a

(I.VIIO +^,(s + b)%(ç-by3ac + a)^,{c~a)

OÙ il est à peine utile de prévenir que les quantités a, b, c représentent celles que l'on désignait de celte façon dans le n" 96, divisées par 2 D, .

282. De celle ideniiié, on en déduit plusieurs autres analogues, soil en augmentant l'une ou l'autre des quantités u, a, 6, c de

-1 -. , ou en attribuant quelque valeur particulière à ces

variables. Nous ne voulons pas ici faire celte élude, que l'on trouvera tout au long dans la Théorie des fonctions elliptiques

de Briot el Bouquet ('); nous nous bornerons aux remarques suivantes, tirées, pour la plupart, d'un beau Mémoire de Rronecker sur le même sujet (-).

Remplaçons [es lettres c, ft, b, r par a, ù, c. d et posons en général pour p ^ i , 2, 3, 4,

( Tp-Sp(a-4-ô)2ip(a-6}Sp(cH-rf)&p(c-<0,

( Tp = Sp(« + d) &p(« - d) 5^(6-^ c) 9p(S — c),

où les trois expressions T, T', T" se déduisent les unes des autres par permutation circulaire des leUres ft, c, d. L'identité fondamentale (LVIIj) pourra s'érrirc

Observons (jue, par les vingt-quatre permutations des lettres «, i, c, d^ les quantités Tp, Tp, ïp se reproduisent, rangées dans un ordre quelconque, si p n'est pas égal à i , et que les quantités T) , T'i, T, sont remplacées par une de leurs permutations circulaires ou par une des permutations circulaires des quanlilés — T,,

On voit, en particulier, que l'identité fondamentale

se reproduit jiour toutes les permutations des quatre lettres (/, &, c, d.

Si maintenant on ajoute aus quantités «, t', successivement - 1 , - , on trouve