LIX

^ (4) ^pa = V5., + ll,+ ^,.

289. 11 est très aisé, au moyen des diverses formules {XIIî ï), de voir quel changement produit sur les fonctions ^aoi S^f l'addition de l'une des quantités au^, 210^, awy ou lua, to^, lOy à l'argument u.

Observons d'abord que l'on a

la dernière égalité résulte des formules (XIIL).

En particulier, et en tenant compte des formules {XXXVII4 .s),

ir.CUL DIFFÉRESTIEF..

Maintenant les formules (Xlli^a) donnent

Ces formules montrent que les fondions ^ sont doublement périodiques, La ibnciion ^i^k, par exemple, admet les périodes 2*i>( , 4t^3i st il est clair, d'après la nature des pôles qui sont tous congrus à zéro, modulis au,, 2 ws, et parce que 3 W3 n'est manifestement pas une période, que ces périodes sont primitives. Les carrés des fonctions \ sont doublement périodiques et admettent tous 2W|, a wg comme couple de périodes primitives.

290. Il est facile d'obtenir les équations différentielles que vérifient les fonctions ^, puisque l'on a l'équation qui relie pu à p'u.

Observons d'abord que l'éqnation (XI3)

P'm=— 2ÏM?pO?VO=^-5^/j:)i!

Dès lors les relations

a/pH-ep/pit — e..

yGoosle

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS rf ET DKS FONCTIONS 3.

donnent immédiatement

(LXI,) ?;„ = --l'jL-^^ = - /jTTT^ /p«-ej = - ïpoSyo,