Signalons encoEe les relations

U[Sp,(..-K.)-{p,(»-o)]=-a(.ji-.,)Ur»î.ï»S.,»t/«. a = i-(«,-«.)(»;^.p)S>,,.S|,o,

et dont la déduction est évidente. Ces formules permettraient sans peine de trouver tontes les relations qui existent entre deux nombres qui rendent égales, ou égales et de signes contraires, deux fonctions % ayant les mêmes systèmes d'indices,

297. Examinons maintenant, comme au n" ]20, le cas où les nombres w,, ~ sont réels et positifs.

Si la variable u est réelle, toutes les fonctions \ sont réelles ; on en connaît le signe d'après les résultats du n" 120 et les formules

permettent de reconnaître immédiatement si elles sont croissantes ou décroissantes; comme d'ailleurs on connaît les valeurs qu'elles prennent pour les multiples de o), qui sont les seules valeurs réelles pour lesquelles les dérivées puissent s'annuler ou devenir intinies, on reconnaîtra sans aucune difficulté entre quelles limites les fonctions varient. Par exemple, la fonction ^^3 croît de o à -^^=^ quand a croît de o à Wj ; la formule (LXTIJ'Î) montre que dans cet intervalle on a

en donnant au radical le sens arithmétique, puisque la dérivée doit être positive; on en conclut qu'on doit avoir

176 CALCUL UIFFÉEESTIEL.

Cl,, en remplaçanl dans cette formule j' par — ' i on trouve en donnant à A' la même signification (XXXVII)) qu'an n" 170,

298. Quand «:i= ji(' est purement imaginaire et que u' resle dans l'intervalle (o,^Ji les fonctions paires ipf{iu') sontréelles et positives, ainsi qnc la fonction impaire r^(,a{lii'); les expressions des dérivées donnent aisément le sens de la variation ; soit, par exemple,

en désignant par ^'„,{iii') ce que devient ^[^ u ([uand on j remplace u par ia'; - --, est doBC positif et z croit de o à

comme on s'en convainc en se reportant aux formules (LS,, X.III,). Puisque la dérivée de z est positive, elle est donnée par la formule

v/[.^-(e.-e,)i,^(m')Ui+(«"r-e3)s„V'"')r

= /[,(e,e,)B!][,(e,-eôa^];

les radicaux étant pris avec le sens aritliméliqnc, cl l'on a pai conséquent

v/LV-(ei-eO^'] [■ -(«1 - '■O ^'"1

yGoosle

LUS QUOTIENTS DES FONCTIONS fÏET DES FONCTIONS S.

remplaçant z par -. — — ■

v/^elv^^

/f' a le même sens (XXXVII5) qu'an n" '170, savoir : ' sonL réels, positifs et pUis petits que 1.

Les formules qui donnent, dans ce cas, Ci),, -4- au moyen de «i, Sî, es doivent naturellement être rapprochées de celles qui ont élé obtenues au n° 297.

299. Ajoutons enfin quelques remarques relatives à l'homogénéité, que le lecteur rapprochera de celles qui ont été faites au n" 119. En reprenant pour un moment les notations de ce numéro, c'est-à-dire en posant

on trouve de suite, à l'aide des formules (XVlTli.:,),

Il suit de là que, si l'on dé:

qui soit, comme •i\a ou y/Ca — et du degré — t , les fonctions

)~1U ïh

gne par y une fonction de u,, cog ■p, homogène par rapport à w,, m.

ne dépendront que de l'argument u d'une part, du rapport — de l'autre; en effet, si l'on pose

T. et M. -II. la

T78 CALCUL DIFFÉRENTIKL.