En ^ iln«, on a

et pai

1 même des fonciîoi = 1, cino = i, -^ o, tln'o ---^ o.

On peut donc définir sn{u,k) comme une fonction unlvoqm de u qui s'annule pour u = o, dont la dérivée pour u^^o es positive el qui vérifie l'équation différentielle

On verra plus tard que, réciproquement, quand on se donne k, il existe une fonction univoque sn(u,k) vérifiant cette équation différentielle et satisfaisant aux conditions précédentes; puis des quantités wi, w^ dont le rapport seul t= — est déterminé, le coefficient de i dans ce rapport étant positif, telles enfin que, en construisant avec ces quantités les fonctions rf, ^, la fonction sn(«,A') définie par l'équation différentielle soil précisément celle que définit de son côté l'équation

305. On connaît les valeurs de ^os"; kisU, ^^lU pour m =: to,, u ^^ tiJa, M r= (lia et l'on sait ce que deviennent ces fonctions quand on augmente u de ti»,, (Oj, «a- 1' est donc aisé d'avoir les valeurs des fonctions snw, cn«, dnM, pour les valeurs de u égales à (ûiy e, — ■ Câ, bi^^e, — Ca, (1)3 ^ei — ej et ce qu'elles deviennent quand on augmente u de l'une ou de l'autre de ces quantités.

lea CALCUl, DlFFÉRENTlEt..

(I convient, pour nous rapprocher encore des notriUons de Jacobi, de poser

on en conclut, à cause des formules (XXXVIj),

(LXXI) I (3) K=^3Ko|T),

j(4) K'=-^'3Koi^),

de sorte que l'on peut envisager K el K' comme élaal des fonctions de t; on voit d'ailleurs, sur ces formules, que la partie réelle du rapport - - = - est toujours positive et que l'on a

(LXXtO g^e'""^.

Nous n'emploierons pas de notation spéciale pour

u)îv'ë^c^= — (K-i-nc).

Observons de suite que, si w, et — ? sont réels et positifs, on a

en donnant aux radicaux le sens arithmétiqire.

306. Avant d'écrire le Tableau qui donne les valeurs de snw, cnw, dn« pour les valeurs R, l'K.', R-H i'K.', ouïes formes que prennent ces fonctions quand on y remplace u par «+K. w-(-[K', u + R-t-iR', « + 2R, a4-2iK', H + aRn-aiR', remarquons que les fonctions sa m, cnw, dciu peuvent être définies au moyen des fonctions 3; il suffit, pour cela, de se reporter aux formules (SXXIlI.^o),

LES QUOllENTfi T>ES FONCTIONS rf ET DES FOKCTIONS S".

.i <]ûiirienl immédiatemenl

â,(o) y»». Al-»./

ou, en se reporLanr aux formules (XXXVI ^ , XXXVITi. LXXI,,),

■Ji':,.

'^'^ Ss

(fn)-

307. Ces formules mettent en évidence ce ("ail, que les pôles des fonctions snw, cnu, dnw, qui sont tous simples, sont les zéros de la fonction ^i ( rï? ) ' c'est-à-dire les points «= ,:ii'+^,mK-;-7.H(K',

m, n étant des nombres entiers; on voit de même que les zéros de siïM, cn«, dm* sont respectivement congrus aus nombres o,R, K-l- iYi! {modulis aK., a/K'). Elles sont d'ailleurs aussi propres que les premières définitions à fournir le Tableau de formules que nous avions en vue, et qui résultent alors des formules (XXXIV) ;