XXXIII) I
En remplaçant dans les formules (XXXlIIi^s) du, d,u, d..u, s'a H par leurs développements en produits infinis à simple entrée (XXIX), pris cliacim sous la forme qui met en évidence la variable c, on trouve enfin
(5) 3,((.)=,.5.}>.ln,n||(,-iî-cos2.'- + ,
(0) S,(,.).,,.,Î00..-JJ(l+2,... 00,2.1 +
(7) a,(»)-î,JJ(i + 2î"-'ro>«~ + 5'— ),
(XXXTl)
163. Il est quelquefois commode de prendre z oomme variable iodépeadanle et de considérer, au lieu des fonctions â(f), les
fonctions suivantes qui ii'ea diffcrent au fond que par le nom de la variable.
Si l'on pose
(XXXII)
! (4è«) pi(s)= ^{^,yr'-="'-
on a manifestemenL
p,iz)=^,{^), p,(z) = tï,[^;,
En remplaçanl, dans les formules (XXXIII,.,) &.(.>), ^^(v). 3'G(f)i ^[^(p), respectivement pai' p)(^), p2(s), ps(s), p4(s) ei rfw, rf)U,ds«, rfâ« parles produits infinis à simple entrée (XXIX), pris chacun sous la forme qui met en évidence la variable b, on obtient les relations
j (ibis) p,(s)=2ï„ç'^y— J"[(i-g5"i-2)]^(i-g'="^\), 1(6 M p,(^)=^g„çvl±^|"J(i + ^s«^-=)JJ(, + ,/,„„-:),
(XXXII) ' ^^^^ ""' ^^^^ ""'
1 (7 Z.iï) P3(^)= î, fj ( [ + ï'"-'^-^ ) n '^' ^ ï^''-'^^),
I (8to) p^(^)^5,JJ(,5«-i^-5) jj(,„^..-i^îj,
dont nous ferons usage dans un instant.
104. Les fonctions 3j (i*), S^j., (v) que nous venons de défmii' el dont nous avons établi le lien avec les fonctions du, tf^w diffèrent
profondément de ces fonctions par la façon dont y sont engagées les périodes, qui dans les fonctions 2r n'entrent plus que par leur rapport. Les séries trlgooomé triques {XXXII|j), qui représentent ces fonctions, sont très élégantes : elles sont précieuses dans les applications numérjqnes à cause de leur rapide convergence. Les fonctions 2r jouent d'ailleurs un rôle essentiel dans des recherches importantes d'Analyse, d'Algèbre et d'Arithmétique. Nous allons, dans les pages qui suivent, développer les propriétés fondamentales de ces fonctions.
Plusieurs de ces propriétés se déduisent immcdialement des propriétés correspondantes des fonctions rfw, rfa». On reconnaît ainsi très facilement quels sont les zéros des fonctions 2r, si elles sont paires ou impaires, ce qu'elles deviennent lorsqu'on remplace u par m-H ato,, h+ aw^, « + u,, h + toj, ce qui revient à remplacer c par c + i , v -\-x, v H — > ^ -i — ; te changement de a en u — fn^ donnerait les formules relatives au changement de f en v -\ On peut ainsi obtenir toutes les formules (XXXIV).
Le Tableau qui suit
donne les valeurs de v qui annulent les diverses fonctions 3; ces valeurs ont été placées au-dessous de la fonction correspondante; il est sous-entendu qu'on peut leur ajouter un nombre de la forme m + «t, m et « étant entiers.
Les formules
n'ont pas besoin d'explication.
s'obtiennent de la façon la plus aisée, sans passer par les fonctions d, en partant lios séries trigonométriques ; elles mettent en évidence, comme ces dernières, la périodicité des quatre fonctions 3.
, a,re + ,). -13,(1.), a,(e-F<)= Aa,(e), S,(c + T)= A3,(e), 3.(n-t) = -AS,(»),
l,(r-^J)= Ba.(r),
peuvent se déduire des formules (XXXII), j,-j) légère fiées. Si l'on y remplace g- et ^ par leurs valeurs e'^"',
32 C*L€IH. njFFÉRENTIEL.
ûcni de suife
Les quaniilés enlre crochets dans les exponentielles sont toutes des trinômes du seeond degré en ii qui deviennent des earrés parfaits quand on leur ajoute la quantité -^5 on peut donc écrire
\(,„) ,™s.(,)= -^.""("^ïï.
or on voit qu'en remplaçant v par f + t et n par « — 1 , les expojientielles se reproduisent; en sorte que, par ce changemenl, le premier el le quatrième des seconds membres changent seulement de signes, tandis que le second et le troisième restent invariables. On a ainsi, par exemple,
d'où
et l'on obtient de même 2rii{c + 'î), ^:,{v + ^), 3^(i'4-t) au moyen de 3^(0), Sa(i'), 3,(i').
yGoosle
LES FONCTIONS S. aS
On voit tout aussi aisément sur ces formules comment les
choses se passent quand on change c en en Il suffit de rem-
ptacer, dans les deux premières, n par n — i et v par c + - /ce qui change /i+'+-enn-i--j, el,dans les deux dernières,
simplement v par c -| — (ce qui change « + ; en«H h-J-En
tenant compte d'ailleurs de ce que l'on a
on obtient les expressions de 3, ( t-- -i- - j ^ S^^, ( " 4- f ) au moyen de ^i^f), âa+ifi')- Finalement, on arrive ainsi aux formules (XXXIVo).
En répétant m fois les formules (3) et ii fois les formules (5), on a aussi
ScCi-^'.
:-f)"' .?-'''e-a"^'tOa<',
îl -h- itn) =
ïi(i'+/
joinbïna
Ht les forn
Liules (4) el (6), on [iarvien
qui correspondent au changement de ti en u — Wo.
Observons en passant que les formules (XXXIV3) et (XXXIV5), ou, si l'on veut, les formules (XXXIV,), qui les contiennent comme cas particuliers, mettent en évidence ce fait que les quotients de fonctions S sont des fonctions doublement périodiques, avec les
^4 CAICUL difféhentiel.
périodes a, -i^ : on prévoit ainsi ie rôle que joiieronl ces quovients.
165. Comme le cliangenient de c en c + m + n-: revient au changement de ^ en {—i)'"-q"z, et t^ue les changements de v
en cH — > (>+ -) V -\ revienoent aux changements de s en
iz, z\lq, iz\f(}, les formules précédentes peuvent s'écrire
PiK-i)'"?"^] = (-!)" ?-"'^-^"p4(3);
pl{^/?) = -^pi(^).
ps(3 v'y) = -47=p!(3).
Ces formules se déduisent d'ailleurs immédiatement des définitions des diverses fonctions ()(5).
166. Les fonctions S vérifient toutes les quatre l'équation aux dérivées partielles
i)<<2 ''" dx
Nous avons vu, en effet {n° 160), que les séries qui définissent les fonctions S|{(',t), Sk+i (''i '^)! séries qui rentrent dans le type
pevivenl 6lre ri iffcren liées, terme à termCj soil par rapport ; soit par rappon à ■:. Or la quantité
vérifie, comme on s'en assure immédiatement, l'équation aux dérivées partielles
il en est donc de même des quatre fonctions
r quelques fonctions du rapport des périodes. Formules diverses.
167. En faisant v^o dans les formules qui donnent les expressions des fonctions 2l(c) où l'argument est augmenté de i , t, m -f m, -' - 1 —^ — ! on trouve les valeurs de ces fonctions pour i>i= 1, T, m + KT, -t -y ~ — : celles de ces valeurs qui ne sont |ias nulles s'expriment au moj'en de g et de Ss(o), 2^3(0), &i(o). Ces valeurs se lisent si rapidement sur les formules (XXXIV) qu'on a jugé înulile de les récrire ici. Nous nous bornons à transcrire les résultats obtenus en faisant v^o dans les formules (XXXIV), après qu'on a pris les dérivées des deux membres; on obtient ainsi le Tableau de formules (XXXV), dans lequel ^'(v) désigne toujours la dérivée par rapport à i> de la fonction &(<')- Il convient d'observer, d'une part, que les trois quantités £!â||(o) sont nulles, puisque les trois fonctions 3a|.i (^) sont paires; d'autre part, qu'il ne s'introduit pas dans le Tableau d'autre élément nouveau que S', (o).
.LCLL DIFFÉRENTIEr
-2il,-lS,(o),
7Tî"*Sl(0),
