Briot et Bouquet emploient les notations

avec le sens que M. Hermite donne aux symboles so^, en a:, ànx. Leurs notations s'identifient avec celles que nous avons suivies, en supposant que les quantités qu'ils désignent par w, 01' soient celip-^ que nous désignons paraw,, awj et en posant

\(x) = m{\/ei — e33:)<

319. Si, au lieu de laisser les quantités K, K' indéterminées, on suppose K, elK' définies comme fonctions de la variable /c par les deuK intégrales

,, r' dx ,,, /■' dw

et si l'on entend alors par H(^), %{x), n,{^), 9,(a;), les quai fonctions définies par les relations

LUS QUOTIRNTS DES FONCTIONS tf ET DES FONCTIONS 3. IQS

ces quatre fondions sont précisément celles de Jacob! ('). Lo lecteur verra plus tard, après avoir étudié le problème de l'inversion, que le sens que nous avons attaché aux symboles II(^), %{x), ïl,{x), 0|(a:)aun° 315, sens auquel nous nous attacherons dans tout ce qui suivra, est identique à celui de JacoLi.

III. — Transformation linéaire des fonctions elliptiques. 320. Si l'on suppose Q, et ti^ liés à m,, Mj par les formules

où a, h, C, d sont des entiers liés par la relation ad — f)c = ï, les fonctions ^oa(" 1 ^n ^^s)! ^Py(« | ^^i t '^a) s'expriment immédiatement au moyen des fonctions ^i)a'(« | W|, tun), ^^y{u\M,,iùi'), où a.', P', y' désignent comme a, ^, y les trois nombres i, a, 3, rangés dans un ordre quelconque. Reportons-nous, en effet, au Tablean (XX,,); ce Tableau permettra de déterminer, suivant les valeurs de a, b, c, d, les valeurs des indices X, p., v tels que l'on ait {XX, )

et il est clair que les douze fonctions ^ formées avec les demipériodes 0,, Q.J ne seront autres, dans leur ensemble, que les douze fonctions ^ formées avec n»,, (O3 ; mais tes indices des fonctions égales ne seront pas les mêmes, sauf dans le cas 1° du Tableau (XX^).

321. La substitution d'un conple de périodes équivalentes affecte un peu plus profondément les fonctions snw, cni(, dnw, i'i cause du facteur \Je, — e, qu'affecte aussi cette substitution.

Reprenons les notations du n" 187, et désignons encore par

(') Compare! la lettre d'ticrmite à Jacobi, Weii e, t. U, p. ; tfouve pour la première fuis les symboles B, et H,.

196 CALCUL DIFFËRENllEL.

I, I! les quantités ^(t), A''(t), de sorte que l'o

-3f(o|T)" -SKo|T)-

Posons a