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d'où finalement on distinguant deux cas, suivant que l'on a /;^-|- I ou que l'on a fo ^ — i (mod. 4), et en faisant usage des formules {LXVII,.., LXXII,),

On irouve de même, dans ce cas 5" du Tableau (XXg),

Ce cas 5" présenle un intérêt particulier. 11 donne les formules qui permettent de passer du cas où l'argument u est purement imaginaire au cas où l'argument u est réel; k est alors remplacé par ± k'.

On observera que les fonctions sn(M, k), sn(H, l) vérifient respectivement les équations différentielles

dr'

igS CALCUL Dll'h'ÉlŒ.>TlEL.

On esl ainsi amené à celle proposition, que le lecteur vérifiera sans peine ; Si une fonction ^{u) satisfait à la première de ces équations, la fonction

satisfait à la seconde.

322. Les calculs se font, dans cîiaqne eus, avec !a même facilité. Les résultats sont consignés dans les deux Tableaux qvi suivent, que nous avons séparés pour la commodité de l'impression :

le premier donne les valeurs de l, V ei du facteur ^ ^ ; ' — '- <

M j/ei — 63

par lequel il faul multiplier aK + it'K', cR 4- rf/K', pour obtenir L et i\J ; le second donne les expressions de sn((i, /), en (m, /), dn(i(, /); chacun des six cas des deux Tableaux correspond aux sis cas du Tableau (XXg).

M ^/i;ir7^ "

(-'i^jr.

i-,T'ri,

i QUOTIENTS 1>ES FONCTIONS <i ET DIÎS FONCTIONS ^

tn(u,n-

(lH(i<,/).

dnu

'^"JK'

'cT^

dn"

On observera que dans les deux cas i" et 3", c'est-à-dire lorsque c est pair, la fonction snw se transforme en tine fonction de mêreie nature.

323. Lorsque c est un nombre pair, on voil sur le Tableau (XXfl) que V est égal à 3 el sur te Tableau (XLIIs) que m'" = d et que, par suite (XLUî), on a

On a donc, en divisant membre à membre la première et la

ipatrième des formules (XLII),