SI
(') Comptes rendus, t. LVII, p. 996, et dans son Mémoire : Sur quelques formules relatives au module dans la théorie des fondions elliptiques {Jownal de Liouville, v séde, t. IX, p, 3iS).
CÀLCUT. ÛIpreilENIIEL.
et, d'autre pari, les relations
(Mï) '
LES QUOTIENTS PUS FONCTIONS tf HT BES FONCTIONS S. aog
Par un groupement convenable des termes des séries {XXXn,.^) qui définissent les fonctions 2r,, Sr^, %, Slj, on peut déduire de ces sis relations les développements donnés par M. Hermile.
En remarquant que, si l'on change t en , q devient i\j7j''
on a, par exemple, pour le développement de la fonction
3, (— ^ ) qui figure aux numérateurs de la première et de
la dernière des six relations,
'îl-' - ..(.H 11*1
OU, en séparant les termes de rang pair et ceux de rang impair,
.„ï,l2(-.)-î'»-^.i.(iv*.)^,
où dans la dernière somme l'indice v prend toutes les valeurs entières de — 00 à + co.
On a ainsi ies développements
T. et M, ~ II.
CALCUL Dll'i
l'IîliENÏlIlL.
"«.,î„(.iv + ,)î|
'cos(4v + t) -^'^^
:tli2. Pour i( = o, les développements de criH et diiM donncnl, en prenatil préalablement les dérivées par rapport à u des numérateurs et dénominateurs des derniers membres qui se présenteni sous la forme ^,
/;,-.j^ = &fc^^«'''"^
un a donc, pour les fonctions modulaires 'f (t), 'I'(t), -f''{T), '{''("). les développements
LES QLOIliî.VTS DI-;S FOSGTiONS 3 KT
Vk' =4(0 =
YV = o>( -) = i/s?i — -
donl les deux premiers ont élé déduûs par Jacubi des développements en produits infinis, qui nous ont servi de définition pour les fonctions tp(T) et i{x).
333. En combinant les transformations de Landen et de Gauss, on obtient les expressions de sn(aî(), cn(2w), dn(2(/) en fonction de snti, cnw, du h,
(I.XXXÏ) (■•) ii.i,. °"'° "'"''" li
c\. ces formules coïncidenl avec celles que l'on obtient en falsaiil (( = a dans les formules (LXXIII|3).
La formule (LXVII7) permet ensuite d'obteuir l'expression de j)(2«) en fonction de p{u). On a d'abord
]juis, après quelques réductions faciles reposant sur l'emploi de; lormules (Vil),
212 CALCUL DIFKÈIIENTIF.L.
On aurait pu, tout aussi bien, déduire celle formule en con binant les deux formules (XXII,) et (XXIV,)-
ZZi. Après avoir remplace u par - dans ces formules, on ■ lire, par des combinaisons faciles, les relations
dont les deux dernières résuUent d'ailleurs immédiatement de \i\ première et des expressions de cn^ - > dn* - au mojen de sn-^ - ■ L'usage de ces formules est évident; en y supposant successivement u = K., w = i'K.', on obtient
dn'" =k\ dn'~ = i + yt.
En se plaçant d'abord dans le eas où 4. K, K' sont des nombies réels et positifs, et en se reportant à ce que l'on a dit aux n"' 3il- 312 sur les valeurs de sn«, cn«, dn« quand u est réel ou pure-
ment imaginaire, on voit que l'c
« a, dao:
5 tous le
ne
•It-
dn ï = /F,
Si d'ailleurs on adopte les conventions du •a" 32S, on voit immédiatement que les deux membres de chacune de ces égalités sont des fonctions analytiques univoques de -7, et que, par conséquent, ces égalités subsistent toutes pour les valeurs de x reprc-
