V. — Transformation d'ordre n des fonctions elliptiques

33S. Arrivons maintenant au cas où l'on divise l'une des demipériodes, (ij) par exemple, par un nombre impair n.

Nous désignerons, comme au n" 136, les constantes relatives aux fonctions jîj (t — -i Wj j, rf ( «j — > (i>3 1 par de petites capitales; ainsi

:!l4 CALCUL DIFKÉKKNTLEr.,

d'après les formules (XXXVIi), on a donc

Nous poserons aussi En oulrc, /, l' désigneront les quantités Cjui remplacent k, A"', sa-

!i/ei— -Es ^K"!"")

et il, L' les quantités qui remplacent K, [C, savoir :

V^Ki — lia K K

(LXXXVr)

Dans tous les cas où K, K' et n ne changent pas de valeur dans une même recherche, nous représenterons par une lettre unique l'e,pr<

ot'i r et /■' désignent des entiers quelconques; nous poserons irK-l-lr'K'i

de sorte que les symboles «r,», «o,^i qui«eront d'un usage fréquent dans ce paragraphe, représenteront les deus quantités

LUS QU0ll^■:^TS dks fosctions d m- d]:;s Fo.Mnioivs S. 'îio

Cette nùlalion permet de réduire iiotahlcmeDl la place qiio prennent les formules.

336, En se reporlaot aux formules (XXYli) on ,nira par de simples divisions

Dans les seconds membres les fonctions ^ se rapportent nalurellementanxdemi-périodes (w,, [1)3) et il en sera de même toules les fois que ces demi-périodes ne seront pas écrites explicitement.

Quant aux nombres r, , /'o, , '"„,, rappelons que ce sont ;i — r

nombres entiers dont aucun n'est divisible par n, non plus que la différence de deux d'entre eux.