On peut écrire aussi (XXVI,

[ci les nombres r,,!-^, ...,?■„, sont toujours des entiers;

aucun n'est divisible par n, non plus que la différence ou la somme de deux quelconques d'entre eus ; au surplus, quand nous écrirons au-dessous d'une formule que /■ doit prendre, ou les valeurs ''i, /'s. ■ • •. 'V-n ou les valeurs ''i, /'j. - . -, ''„[, nous

entendrons toujours, comme dans les Chapitres précédents, que ces valeurs satisfont aux conditions que nous venons de rappeler, soit dans un cas, soit dans l'autre.

ite montre que

■!l6 CALCUL DIFFÉRENTIEL.

fonclion ralioimelle de ^oc^^'i '^'^ ^o'!- de même que g^-j f «U--. tuA est une fonction ralioniieîle de ^^y « : c'est le produit de ^3^" par une fonction rationnelle du carré de l'une quelconque des fonctions ^, comme on le voit en faisant usage des relations (XXVl5)et(LIX„).

Nous nous dispensons de multiplier les formules de cette nature t[ui sont implicitement contenues dans les formules (XXVI). Toutefois, nous observerons que les fonctions rationnelles ainsi formées comportent comme coefficients, en dehors des quantités e,, e.,, fig qui y figurent explicitement, des fonctions symétriques de

p I —1 ) ' P ( ^~~^ )' ■ " ■ ' P — ' ' ^^^ fonctions symétriques,

comme on le verra plus tard, dépendent, lorsque n est premier, d'une équation de degré n + i , dont les coefficients sont des fonctions entières de e,, e^, c^ et même de ^s, g^.

338. Ces formules vont nous fournir d'abord l'expression de quelques constantes dont nous allons avoir besoin. Si nous nous rappelons en effet les formules (LXo)

nous trouverons au moyen des formules du n" 336, en supposant p = 2 et, successivement, y ^ ' 1 Y ^ ^1 ^^ *^" faisant successive-

,.mï,.)=^..n^g^.

ou, en tenant compte des formules (LX,), pour i( ^ — w,, fi = a, V == 1 et des formules (XXXVIl,, XIII^),

(LXXXVIO / = A" JJ \f, (^ «.,), (. = ,-., r,. . . ., r„,)

ou encore

LES QUOTIENTS DUS KONCTIONS rf El DES FONCTIONS S. 3('

puis

on, toujours en tenant compte des formules (LX^ ) et (XXXVtls)

Si l'on observe que l'on peut ajouter sans l'argumeut de ^aiW et que ^23(0) est égal à un, on voit que le second membre peut s'écrire

où /'' prend n valeurs entières assujetties seulement à cette condition que la différence de deux quelconques d'entre elles ne soil pas divisible par n ; on peut donc, en reprenant nos notations habituelles, écrire

Formons encore la quantité ^k , — ^ ; rappelons-nous que l'on .(LX,)

on en conclura

ou, en donnant à r les valeurs

ai8 CALCUL" DIFFÊREMIEL.

et en observanl r|iic la dernière valenr lic y met en évidence le facteur ^ojCd, =3 -■ -■ on trouve, après quelques rcdiictions

nédiates,

(LXXXVls) M=^-^L=^= TT i/ki — E3 J-/-

Si l'on admet, comme on le montrera plus tard, que la quantité p ('■ — )' ofi '^ est un nombre entier, est une fonction algébrique de fil, Cî, 63, il sera évident par les formiiles précédentes que les quantités /, V, M sont elles-mêmes des fonctions algébriques de ^1) ^f>t ^%i on, si l'on veut, de e\ et de A-; mais il est manifeste que fil ne doit pas y figurer; en effet, les quantités l, l\ M, de même que A- et A:', ne dépendent que de t, en d'autres termes, ne changent pas quand on multiplie u, , (d^ par un même nombre m ; mais alors e, est multiplié par — ,; par conséquent /, V , M sont des fonctions algébriques de k seul; en d'autres termes, il existe une équation algébrique entre / et A, et une équation algébrique entre M et A'. Ces équations sont dites respectivement équation modulaire et équation au multiplicateur.

339. 11 suffît de se reporter aux formules de passage des fonctions ^ aux fonctions sn, en, dn pour obtenir les expressions di' sn(«, l), en (m, l), dn(H, l)\ on obtient tout d'abord pour les constantes

'"''•li'Ê^.' ''-'•'•naît:.'

Maintenant, la première des formules du n" 336, en y supposant

T.rs QiJorii;.\r<i t>es fonctions ï et bes fonctions = 3, donne

ou, en remplaçanl ;( j)ar ■ " ■ •

De même

ILXXXVII) "■'

340. Dans ces diverses formules, /■ doit prendre les valeurs / /■o, ..-, /*,i i ; on les transforme aisément en supposaot qu'il preni les valeurs

les divers produits qui figurent dans les seconds membres se présentent alors comme des fonctions rationnelles de sn^ u ; en particulier pour sn ( jTT. ^1, le résultat auquel on parvient est naturellement le même que celui qui résulte immédiatement de lii première des formules du n" 337, pour a ^ 3, savoir :

(..xxxviu) ■■(fi.'),^,...]][ .^l..,:.°i°::,..„ '

On voit Ici apparaître un phénoiuènc analytique sur lequel nous avons appelé déjà plusieurs fois l'attention; y étant une fonction de u qui vérifie l'équation, différentielle

li existe une fonction rationnelle z de y qui vériGc l'équation différentielle

M et / étant des fonctions algébriques de /(. On a de même

3il, C'est des formules relatives aux fonctions ^, ou plutôt aux fonctions rf, que nous avons dédnit les formules de transformation des fonctions sn, en, dn; il va de soi qu'on aurait pu partir tout aussi bien des formules de transformation relatives aiiK fonctions S; nous ferons même observer que ce mode de calcul, que nous laissons au lecteur le soin de développer, présente, relativement au calcul des modales transformés /, l', un avantage : il permet d'obtenir y^/, t/l', avec leur signe; on a eu efFet, par définition,

t par conséquent (Ll^ )