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i QUOTIENTS DUS FONCTIONS tf ET DES FONCTIONS i
(LXXXVIs)
/7=(-,r (Arnin^S:!'
(LXXXVIO /f = (i/F)"J|L, (,. = ^,,,.^, ...
En se reportant à la valeur de M, oo iroiivc enfin
3*2. Les to.cuons .n(|, (),cn(^,, (),cln(â. ') »'"priment aussi par des sommes de fondions sn, en, dn, dont le module est k. Nous parviendrons plus tard à ces expressions par une voie très simple et presque sans calculs; mais il est intéressant d'observer qu'on peut les déduire, dès maintenant, des formules (LXXXV[I,o) en décomposant en fractions simples les fonctions rationnelles, regardées comme des polynômes en Hn^(u, k), qui représentent les fonctions
"(S-') "(S'') 'ii(S:i
Le dénominateur commun de ces fonctions rationnelles de sii^ [a, k) n'a que des racines simples, comme on le reconnaîtra facilement en se reportant au n" 310. On a donc
nv
Le calcul des coefficients B^se i'all d'après les règles ordinaîr
on U'ouvc (')
(-0'B„=^«-on.,,a„,.,...;
|jiiis, en tenant comple de la dernicre forme sous laquelle on a
mis M,
En faisant usage de la formule d'addition (LXX.IIt.,) et après quelques réductions immédiates, on a enfin
,r.XXXVlIO ,n[^^,l)=':f^,n(.^,a..,),
343. On parvient au même résultat en observant que la relation (LXXXVdj), que l'on peut éerlre, en posant j;- — 'sn (h, A) ely = 3„(f,(),
") -n(:iT£7:;"')-"^-ni-"'-""".-') = ».
a lieu identiqaemonl en ii et t. Or, si l'on change dans cette relation Il en « -1- 3fl,-,oi où r désigne l'un des entiers i, i, ..., n — ] , la quantité jrr est remplacée par t; H- 4 '"I-^ : donc l'cspression
ue change pas. La relation (i), envisagée comme une équation de degré n en x, admet donc les n racines
ces II racines sont distinctes : on le déduit aisément de la forme générale des solutions de l'équation sna^ = sna (n^SlO); on a, par suite, identiquement en x,
(') Les calculs sont développés dans Eaacper : Elliplisohc Fiinc/ïûneii, p. Soft.
LK8 QDOTIESrS DES FONCTIONS d HT DES FONCTiOSS S. 22^
Eti égalant les coeflicieuts de a;"" ' dans les deux memljros, on a donc
Mji-.JJ ,■.«,,. =.2"'>(» + "»'..).
d'où, cil tenant compte de la valeur trouvée au n" 3il pour M,
On a donc aussi
De même, ou a (LXXSVII) ( ''"'
344. La substitiUion des demi-périodes ((d,, — 1 aux demipériodes <!>,, W3 donne lieu à des formules toutes pareilles sur la déduction desquelles il semble inutile d'insister : nous désignerons parE',, E^, E'3, \^ V, A, A' les quantités qui remplacent alors e,, Cïi Cui ^'i ^''. 1^1 I^'; nous poserons aussi
(le sorte que 1 (LXXSVIII)
CALCUL niFFÉHKMIltL.
(LXXXVllI)
343, En ce qui concerne les fondions ç, cilons les formules
s„(.i.„î)=(»(.on-
-(..-.?)(«c-.,)iu(v"')a."
Observons aussi que la transformation qui consiste à diviser l'une des périodes par un nombre impair peut être combinée avec la transformation linéaire.
Par exemple, si l'on remarque que la substitution des demipériodes ((]>!, 0)3+ a^W|) aux demi-périodes {W|, Wj) rentre manifestement dans le cas i" du Tableau (XXo) et que dans ce cas la suite des indices a, p, y n'est pas altérée, on voit de suite qu'on a, quel que soit l'entier p,
LES QUOTIENTS DIÎS l'ONCTlONS rf ET DES EOSCTIOSS S. ^.25
346. Voici, d'aulre part, les résultais auxquels on parvient en ce qui concerne \/X, yO>', J/etles fonctions sn (^'^ )' en (^iX\,
(LXXXIS) ■
'r^^y^ JL. TT
14) ••'{ji.'-j-J,' (LXXXIS)'^ ' ^" V-^' "/
