LXXXIX

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230 CALCL'L DIFFÉRENTIEL.

347. Les formules concernant la mulliplicatîon, par un nombre entier impair, cle l'argument des fonctions elliptiques sn, en, dn, peuvent être déduites de diverses manières des formules précédentes concernant la transformation de A- en ^ et celle de k en \. En tenant compte des formules (LXXle s) et (LIV), on obtient, par de simples divisions, les relations

où les indices /■, [<., •/ parcourent les valeur;

On peut mettre ces relations sons une forme ofi ne figure pas le

facteur ( — jy' . H suffit pour cela de prendre, par exemple, pour le système de nombres o, /"u Ta, — , rn~t 'e système de nombres o, zt i, ilz a, . . , , ± -^'-~- Mais on parvient aussi à ce résultat en prenant, pour le système de nombres o, /■(, /■:., ..., '■/,!, le système do nombres o, a, 4, ■■•> ?•(" — ')' on voit aisément que l'on a alors

LES QUOTIENTS DES FONCTIONS rf ET BES FONCTIONS Sr, 227

OÙ les indices [a, v parcourent les valeurs |ji = o, i, 2, ..., Il — i; v=^ o, i, 2, . . . , n — 1. Les seconds membres de ces dernières formules ne changeai pas quand on y remplace [Apar [l-^-ii on V par v + « ; ces égaillés restent donc vraies quand les indices [j.et V parcourent les valeurs )j.^ ru- f,, r^, ■ ■ -, r^^^ ; v = /„, /,, '''2' • ■ ■ ; ''«-1 ' ^'^^ " valeurs que prend {a étant incongrues (mod. Il), de même que les n valeurs que prend v.

Le lecteur ne manquera pas de remarquer que l'on aurait pu-

se débarrasser de la même façon du facteur ( — 1 )"'' dans plusieurs des formules précédentes.

'M8. Pour obtenir les expressions desn(/!«), en (nu), dn(7iH)en fonctions rationnelles de sn^ «j il suffit de prendre, dans les formules (XC)3),pour les nombres o,;-, ,;'g, ..., ;■„,, les nombres o, ±r,, ±/'î, ..., àz r„j et d'appliquer les formules (LXXIV).

Ou obtient u

, pour la fonction sn, ta relal

i'"(»'')--n-«-nrri,^s:^„-

in(»)

OÙ l'indice 1* prend les valeurs o, r, , /■;, .... /„, et où, à la valeur ^ =^ o, eorrespondent les valeurs v ^-- /■,, i-^. - - . , '■„], tandis qu'ans valeurs [A ;= ;■,, r. , . . . , ;„i correspondent les valeurs

l'our II = o, on en déduit l'égalité

320 CALCUL IllFFÉltESTlEL.

Oq a de raémc, par tin calcul toul semblable ( ' ),

<XC.) „^„, = .„,,pjL.ji3t.

349. En remplaçant, dans la formule (LXXXVII,), -par^;, les quantités k, K, i, L se changent en X- A, k, K.; cette formule tieviendra donc

d ou, en remplaçant — par ;/,

D'autre part, la formule (LXXXIX;) donne, en y remplaçant (/ TA/ l,rV.\ 1 iK>7. / (,-K , .f.iK'X

"'[ii["'^—)'^\-ïïZ.'"V' ■ -^^-.r^)

(') Ce senties formules mÈmes de Jacobi {Œuvres, t. 1, p. 121).

lES QUOTLI

(NTS Dl

IS FONCTIONS rf ET

DES FONCT§0î

a donc final

ement