XC
■li-VL(it,
De
même
)'~^ni
3S0. Si l'on pose
= v'(i-j^)(i--"ÀV^)
et, par conséquent,
Cette équalion difTérenliclle est donc, vérifiée identiquement en X, quel que soit t, si l'on y remplace y par la fonction rationnelle de X, que l'on obtient en faisant snu^x dans le second membre de la formule (LXXXIX^) et )>, M par les expressions- (LXXXVIIl3,0-
Observons aussi que si l'on cliange t en ■: + am, où m désigne
un nombre entier quelconque, q ne change pas, tandis que g" devient e " ^"; A:^^ o^(':), /:'= i}''(t) ne cbangeiit pas, non plus que K=- -S^(o [t); jK.'=':Kest remplacée par
(■] Compar
yGoosle
a3o CALCUL DlFFÉltENTIEL,
de sorte que a^^^ devient «|i+2m,v'i v^/i' = ç(T) est remplacée par <f (t+ p.) ^ \fi'^k; les quantités X, A, y^/sont remplacées par À„j, Am, M„„ où
La subslitiition de T4-2m à t cKange d'ailleurs les seconds iiembres des relations (LXXXVin,,s), el l'on a
v'î^-.'-KÂyni^,'
■i-r cjiiw ^ /S TT ^. __
J.X dnasHi,,. sneta/n,,. [""'(J/c) ■■-■I- sn((îj„jr La relation (LXXXIX,) est remplacée par la suivante
puisque le changement de t en ■;; + 2 (qui ctiange k en — A) n'altère pas
Mais, si Ton pose
,n(.,t)-,. ."(£.>„,) =7„„ on a
M,„ dvm ir — ^^rr- — ■ ■m -. ,
yGoosle
LES QUOTIENTS DES FOJiCIIOSS rf ET »ËS FONCTIONS &. 23l
et, par conséfjiient,
djm dx
Ainsi, si l'on se donne un entier positif impair quelconque n, l'équation différentielle
est vérifiée ideBliquement en x, si l'on y remplace y par une quelconque des n fonctions de x, que l'on obtient en donnant à m les valeurs o, i, . . ., /i — i, dans le second membre de l'équation
•^ Mlli — 3;U2sii'aï,„,r et \/l, M par les expressions
Elle est d'ailleurs aussi vérifiée identiquement eo x si l'on y remplace y par l'expression
-^ = ^11 T^^r^S^ et ^7, M par les expressions
. WIFFÉBUNIIF.L. — LES QUOTIENTS DES FONCTIOKS rf, ETC.
de sorte que, pour chaque entier posilif impair donné h, nous connaissons n + i solutions rationnelles del'équationdifférentielle précédente.
La quantité t ne figure pas explicitement dans cette éc|ualion différentielle. On a annoncé, au n" 338, que l et M sont des fonctions algébriques de k:, la même assertion s'applique aux quantités \, M et aux quantités Xn,, M^, en sorte que l'on peut dire que l'équation différentielle
doit être aussi bien vérifiée identiquement en x et quelle que soit la quantité k, à condition que l'on prenne poitr / el M des fonctions algébriques convenables de k. D'ailleurs, les n + i solutions rationnelles de cette équation différentielle, solutions dont on vient d'indiquer la formalioQ, dépendent manifestement de l'entier positif «.
Le lecteur ne peut manquer de pressentir l'importance du sujet que nous ne faisons qu'effleurer ici et sur lequel nous reviendrons plus lard.
FORMULES
FORMULES
„„..-„nl(.-;:)«^j.
(-',) ni
1 ;(-■.) = -£», ,,uH-..)~("i)"p"..-
ni.
(I) tf().«ii»„i».), 1 .(«II.,,»,),
(s) ï{»B|l0)„l».)= j r(«iiu„io,),
(3) j)(1..1X»„).».)"îÎp(»1».,».),
(4) pi-i(»«i),»„i»,) = j,;-,p"(iii«„«,).
( <r(i(-i-2u)3)= — e"l.i"+».ia'«,
(3) ^{«-i-2m(Ui + 2/i(Us) = (;u4-27KVl,-|-2«ïj;„
(5) p((l+2niQ),+ 3/HÙ3)=p«,
(6) jp'(« + .«t..,+ ...>,) = p'«,
( ptO,= 0, ^'-^2=0, pt03=O.
336 CilLCUL DIFFÉRENTIEL.
Dans toutes les formules qui suivent, a. p, y sont les trois nombres [ y, 'i rangés dans un ordre quelconque.
