Appliquons le même théorème à la fonction

la somme des résidus à l'intérieur du parallélogramme sera la différence d entre les sommes Z>,+ bo-i-...-\- bp et ai + rto 4----+ «v des zéros et des pôles.

On trouve d'ailleurs immédiatement

F(i<o-f- 2 0)1 1) — F(uo -H 20)3-+- 2 Wi t)

= — ( i<0 + 2 W3 + 2 Wi ^ ) M3 — 2 0)3 - F(«o-r- 20)3/) — F(«o-t- 2 0)1 4- 2 0)3^)

,-. T'(Mo+20)i<)

^-(«0-^2O)i + 2O)3OMi--2O)i ^p^— -^-^.

et, si l'on observe que les intégrales

Mo-+-2t"3 0 ^^

sont respectivement des déterminations des quantités

2t0i ^""S W(Mo) ' 2C03 ''^ W(tto) '

c'est-à-dire qu'elles sont respectivement égales à

M, «0+ Ni-4- ■2n,Tri M3 Mo -(- Nj -f- 2 «3 ir ^

2Wi 2W3

en désignant par /?,, /?3 des nombres entiers, on obtient r . s ,T Mi«o-4- Ni-4-2n,7rn

2Wi («0+ Wi-f- 2W3) JVI3 20)3

— 20J3 — (Mj+ W3-I- 2Wi)Mi— 20.1 = 2rf7t<.

En tenant compte de la relation (O3 M 1 — WiMi = /nzî, on en déduit

, toiN3— W3N1 cofMs— w|Mi , , .

TZ l TZ l

Dans le cas d'une fonction réduite, M, et N, sont nuls et l'on a donc, puisque li est égal a —, la congruence

d ^ ^ .^- — // Wi (modd. 2Wi, 20J3).

TT i

381. Abordons maintenant la recherche du tjpe le plus général des fonctions de troisième espèce.

Si la fonction de troisième espèce est transcendante entière, h désigne, d'après ce que nous venons de voir, le nombre de zéros contenus dans le parallélogramme des périodes : c'est un nombre entier positif. Quant à d, c'est la somme des zéros. Si l'on suppose la fonction réduite, les équations fonctionnelles prennent la forme ( ' )

W(m + 2Wi) = W(îO, ■<F(M + 2W3)^e W. "^''li^M),

dont on a, comme on l'a démontré au n" 274, la solution la plus

(') Cette forme même montre qu'on ne peut supposer h nul, puisque alors la foaction serait do seconde espèce et se réduirait donc à une exponentielle 6"^"+''.

générale, savoir

\ h-Kl

Nous rappelons que la fonction ^(w) comporte h constantes arbitraires Aq, A,, ..., A^| qui y figurent linéairement, et que Ton a

*(iO = Ao<ï>o(m) + Al<ï>l(^0+...-^- A/j i*/j i(m),

en supposant

(n/.-4-rl- rî

où p, suivant notre habitude, est mis à la place de

En résumé, si l'on se donne les deux périodes 2w,, 2W3, et le nombre h de zéros dans le parallélogramme des périodes, la fonction transcendante entière la plus générale qui soit une fonction réduite de troisième espèce sera la fonction <I>(;^ + C), qui comporte les li-\- I constantes Ao, Aj, . . ., A;i,, C; la dernière est liée à la somme d des zéros par la congruence

d^s h((i)2— C) (modd. acoi, 20)3),

qui se déduit immédiatement de celle que l'on a obtenue à la fin du n° 380, en remarquant que C est égal à — Wj rzr^'

Enfin, on obtiendra la fonction transcendante entière la plus générale en multipliant 0(m + C) par une exponentielle de la forme e^"''^^", où A et B sont des constantes arbitraires; il est inutile de prendre cette exponentielle sous la forme eA«»+B«+c'^ puisque le facteur e^'' ne ferait que modifier les constantes arbitraires Aq, A<, .. ., A^, qui figurent dans <!>(« -h C).

On observera que le théorème de Liouville n'a pas ici son analogue puisque, comme on vient de le voir, il existe des fonctions de troisième espèce, autres que l'exponentielle e^"'"''^"'*'^, qui sont transcendantes entières.

382. Le lecteur n'a pas manqué de remarquer les propriétés importantes de la fonction ^{11) que nous avons obtenues en pas- >ant. C'est une fonction de troisième espèce dont les multiplica-

26 CALCUL LNTÉGRAL.

leurs correspondant aux périodes ?.w,, aoj^ sont respeclivement

cette propriété n'est autre chose que la définition même de la fonction transcendante entière $(?^); mais nous venons d'apprendre en outre que, dans le parallélogramme des périodes, elle a exactement h zéros et que la somme de ces zéros est congrue niodalis 2W, , 2CO3 à h{^^i^ + (O3) ou, si l'on veut, à Jhù^-

De la première de ces deux propriétés on déduit que la fonction Sig ne peut admettre plus d'un zéro dans le parallélogramme des périodes, puisque la fonction ^^{u)i pour A = 1 , se réduit à

2»Q ( -: ) • Ce théorème étant le seul pour la démonstration du-

Vacoi I / ^

quel nous nous sommes appuyés sur la décomposition des fonctions 2r en facteurs, le lecteur a maintenant tous les éléments nécessaires à l'établissement d'une théorie des fonctions 2? fondée uniquement sur les développements en séries trigonométriques (n° 160) qui les définissent et sur le théorème (n° 274) de M. Hermite.

De la seconde de ces propriétés, il résulte que si l'on se donne tous les zéros, sauf un, de la fonction ^(m), ce dernier zéro est déterminé.

D'ailleurs, on peut construire une fonction ^{u) admettant Il — 1 zéros ^,, b-ii .., ^A i, et cette fonction est déterminée à un facteur constant près. En effet, les h constantes Aq, A| , ..., A/,, qui figurent linéairement dans ^{u) seront liées par h — i équations qui, dans le cas où tous les zéros sont distincts, seront

^{bi) — o, «t>(62)=o, ..., <l>(6/j]) = o,

et qui, dans tous les cas, resteront linéaires en A^, A, , . . , , A^, . Ces équations admettent toujours une solution dans laquelle toutes les inconnues ne sont pas nulles et déterminent les rapports mutuels des constantes A^, A,, ...,AA,.On ne peut, en effet, se trouver dans le cas d'exception de la théorie des équations linéaires, car, si l'on obtenait deux fonctions distinctes ^(«), ^\{u) admettant les li — i zéros donnés, le rapport de ces deux fonctions serait visiblement une fonction de première espèce qui n'aurait point de pôle : ce serait donc une constante.

On voit aussi qu'il existe des fonctions transcendantes entières de troisième espèce, qui admettent, dans le parallélogramme des périodes, h zéros donnés b\ , b^t • • -, bh- Une telle fonction, si elle est réduite, sera de la forme <ï>(« -|- C), C étant une constante qui satisfasse à la congruence

AC = Aa)2 — cl (modcl. '2 10,, 2W3),

en désignant par d la somme des zéros du parallélogramme. On choisira pour C Tune des solutions de cette congruence, et l'on déterminera, à un facteur constant près, comme précédemment, les 11 constantes qui entrent linéairement dans $(«-hC) de façon que cette fonction s'annule pour h — i des zéros donnés, par exemple, pour 6|, 60, • • ., bh-\ ; la fonction ^(«), qui a h zéros dans le parallélogramme, s'annule pour 6, + C, ^o + C, . . . ,

C son /i''""' zéro, on devra

bi H-G + io— C-f-...-!- b/i-i -r- C -I- 6)j -4- C = /i M. y ou

d -i- A G -r- 6/j — b/i ss h wo, d'où l'on conclut

b'/^^b/i^^o (modd. 2coi, 2 tos).

On obtiendrait, d'ailleurs, diverses solutions avec des multiplicateurs différents, en j^renant pour C les diverses solutions de la congruence.

383. Nous ferons encore sur les fonctions ^(n) la remarque suivante, qui va nous être utile tout à l'heure. Si l'on y pose

les fonctions <!>,.(«), (/■ = o, i , . . . A — i) prennent la forme

sur laquelle la propriété fondamentale (L'V2) apparaît immédiatement; car, lorsque l'on remplace u par ?« -}- ato,, a; ne change pas, non plus que la somme de la série, et quand on remplace u par Il -+- 2(1)3, X est remplacé par q-x, en sorte que la série se repro-

duit multipliée par

hiTZ

384. Il est aisé de former une infinité de séries, constituées d'une façon analogue aux précédentes et, en particulier, à la plus simple de toutes

qui jouissent de la même propriété, mais qui ne représentent plus des fonctions entières. C'est un point très particulier des belles recherches de M. Appell sur les fonctions de troisième espèce ('), que nous allons exposer en disant quelques mots d'une de ces fonctions, appelée à jouer le rôle d'élément simple.

La recherche des fonctions de troisième espèce les plus générales peut êti e ramenée, comme on l'a vu au n° 378, à la recherche des fonctions réduites qui satisfont aux équations fonctionnelles

et nous avons montré au n" 379 que h désigne l'excès du nombre de zéros sur le nombre de pôles. On prévoit qu'il jaura deux cas à distinguer suivant le signe de A.

Supposons d'abord que h soit positif.

i-rzu

Il est aisé, en supposant toujours :c = e '^' , de former une série qui se reproduise multipliée par q~^ x~^ quand on change x en q'-x et dont la somme représente une fonction qui n'admette, dans le parallélogi^amme des périodes, qu'un pôle unique et simple,

congruent au point donné w. Telle sera, si l'on pose y =^ e^' , la série

Cette série est absolument et uniformément convergente dans toute région finie du plan de la variable w, qui ne contient

(') Annales de l'Ecole Normale supérieure, 3' série, t. I, If, III. Voir aussi Halphex, Traité des fonctions elliptiques, t. I, p. 468 et suivantes.

APPLICATIONS DU THÉOUÈME DE CAUCIIV, 29

aucun des points u pour lesquels on a q-'^x — y = o, c'esl-à-dîre un des points u^ w -\- innùi + 2/1103, où m désigne, ainsi que n, un entier quelconque. La série garde même ce caractère dans les régions qui contiennent quelques-uns de ces points, pourvu qu'on en supprime les termes qui deviennent infinis.

Si l'on isole le terme qui devient infini pour u = w, savoir

ïT(«-M'r

on voit de suite que le résidu relatif au pôle simple (v est t-^ Si l'on pose finalement

on aura une fonction de a qui satisfait aux équations fonctionnelles, qui admet comme pôles simples les points congruents à «', et dont le résidu, pour le pôle (T', est égal à i .

38o. Nous aurons à envisager cette fonction F(«, <v) tant comme fonction de u que comme fonction de w. A ce second point de vue, il est clair que la fonction F(?^, w) jouil de la propriété

F( ?i, w -i- '.ifo, ) -- F( u, w),

mais, relativement à la seconde période 20)3, elle se comporte d'une façon plus compliquée.

Tout d'abord, écrivons-la sous la forme

F(«,tv)= — > qn-lixnk-L L £

wi ^ ^ w, ^ ^ xq-^'i—y

puis changeons w en ^v -f- 2CO3, y en q'-y, n en /i + i, on aura

V{U,W + •>.W,.,) H *o(") = — y q^n+\Y-li^in * •

^ ' coi isi\J^^ xq^"^ — y

3o CALCUL INTÉGRAL.

relranchons des deux membres la quantilé

la série qui figure dans le second membre deviendra

xq'-'^—y

et, en prenant pour X la valeur q^y^ de manière que le numérateur de la fraction devienne divisible par le dénominateur, on obtiendra l'égalité

F{i(, n' -t- 20)3) — g'^y^Fiii, w) = — g^' y, g"''''x"'' -^ 5^

en effectuant la division de (^-"^)^+' — J '^"^' par q^"x — y, on

aura finalement

Fiu, w -+- awaj — q'^y'^ F{u, w) -t- ''''^ ^ y^'-'^q"!^ <i\.{u).

386. La fonction F(?^, w), envisagée comme une fonction de //, va nous permettre de construire toutes les fonctions de troisième espèce qui admettent, dans le parallélogramme des périodes, un nombre quelconque de pôles et un nombre de zéros égal à ce nombre de pôles augmenté de h unités; elle admet elle-même un pôle et /i -h I zéros.

Observons d'abord que les fonctions de a

àV dJ F à^

sont toutes des fonctions de troisième espèce, avec les mêmes multiplicateurs que la fonction F(?^, (p); chacune d'elles n'a dans le parallélogramme des périodes qu'un pôle, mais ce pôle est

double pour—-) triple, quadruple, ... pour les fonctions suivantes.

Considérons maintenant une fonction W(?^) de troisième espèce,

- 'ii^ a

avec les multiplicateurs i et e '^' ' . Soit w un de ses pôles

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCHY. 3l

d'ordre a, en désignant par A une constante choisie de façon que, dans le développement suivant les puissances de s de la fonction

dans laquelle on a remplacé u par iv -+- e, le terme en — manque, on voit que celte fonction n'admettra plus le pôle w qu'à l'ordre a — I ; on la ramènera de même à ne plus l'avoir qu'à l'ordre 7. — 2, .... puis à ne plus l'avoir du tout : les fonctions successives que l'on formera ainsi seront toujours des fonctions de troisième espèce, avec les mêmes multiplicateurs, et les pôles autres que w ne seront pas modifiés. On enlèvera ainsi successivement tous les pôles, et alors il ne restera plus qu'une fonction transcendante entière de troisième espèce, c'est-à-dire une fonction ^{u). On conclut de là que, si l'on désigne par «), a-2, ..., a^, les pôles distincts de la fonction ^(«) dans le parallélogramme des périodes, par a/ le degré de multiplicité du pôle «,, on pourra mettre ^ {u) sous la forme

ou 1 on entend que, dans les expressions r , -r— > -r — - , • • • » on remplace, après avoir fait les opérations, w par «/. Inversement, une expression telle que le second membre représentera, quelles que soient les constantes Aq, ..., ^h-\ qiii figurent dans <ï> et les autres constantes A|,", A*,", ..., une fonction de troisième espèce,

avec les muUiplicaleurs i et e '^' \ avec les pôles ai, d'ordre

de multiplicité a/(f = i, i, ...,v), et admettant un nombre de zéros égal à /i + a, + a^ +...+ avl tel est aussi le nombre de constantes arbitraires qui y figurent, si l'on regarde les pôles comme donnés.

387. Il n'y a pas lieu de s'arrêler au cas où h est nul puisque l'on aurait affaire à une fonction de seconde espèce.

Supposons maintenant h négatif et soit encore ^' {u) une fonction de troisième espèce avec les multiplicateurs

I zj w.

admeltant, par conséquent, dans le parallélogramme des périodes

lin nombre quelconque de zéros et un nombre de pôles supérieur

de — /i à ce nombre de zéros.

Formons les fonctions ^{u), ¥(u,w) qui correspondent au

nombre — h, c'est-à-dire des fonctions de troisième espèce, aux

multiplicateurs i, e'"' , dont la première est une fonction

transcendante entière, contenant linéairement — h constantes

arbitraires Ao, A,, . . . , A a o et dont la seconde admet dans le

parallélogramme des périodes le pôle unique w. Les fonctions

sont de première espèce, et, pour chacune, la somme des résidus est nulle dans le parallélogramme des périodes.

Soit a un pôle de ^(w), d'ordre de multiplicité a, et soit, en posant u = a -+- 1 et en désignant par Bo, B, , . . . , Ba, des constantes, par ^(e) une série entière en s,

Bo Bi B2

on aura

F(aH-£, w)=^ F(a) + F'(a) - +. . .+ F(a-i)(a)

•i...(a — I) ca-t

OÙ F' (a), F" (a), ... désignent ce que deviennent

^¥(u,^v) ()2F(m, w) du ' dû^ '

quand on j remplace u par a.

Le résidu de la fonction ^''(i/) ^{u), relatif au pôle a, sera donc

Bo*(a) -+- Bi*'(a) -h. ..+ B^-i *'«-!'(«),

et, la somme de tous les résidus analogues devant être nulle, on ' aura, en désignant par a,, «25 • . . , «v les pôles distincts de ^^(w), par oLi le degré de multiplicité de ai, une égalité de la forme

([ui équivaut en réalité à — h conditions, puisque cette égalité, devant avoir lieu quelles que soient les constantes Aq , A, , . . . , A a i (jui figurent dans <ï>, se décompose en — h autres égalités.

Appliquons le même théorème à la fonction W{u)¥{u^ w) en remarquant qu'elle admet, en dehors des pôles de '^{u), le pôle a :=nv de F(«, w) avec le résidu W{w)^ et nous aurons

d'où, en changeant w en u,

6 \ir(a) = — y [B(/' F(aj, u) -t- B'/' F'(a/, «<) + .,.-+- B\j}^^ F(ai-»(«,-, u)]

en sorte que la fonction '^{ii) est décomposée en éléments simples ; on rappelle que F^^^ (a,, u ) désigne ce on j a remplacé a par at^ puis w par

on rappelle que Ff^^(a,, u) désigne ce que devient ^"' "" quand

388. Cette forme de décomposition, obtenue par le même procédé que les formules des n°* 358 et 367 relatives aux fonctions de première et de seconde espèce, n'est pas toutefois de la même nature, car c'est le second élément de la fonction F(m,(v), qui joue le rôle de variable, et la fonction F(i^, w) n'est pas doublement périodique de troisième espèce par rapport à cet élément, en sorte que la formule trouvée ne met pas en évidence la périodicité de la fonction W(«); c'est que, en effet, les constantes BJ,'', B'i'\ ... ne sont pas arbitraires, mais doivent vérifier les — h conditions contenues dans l'égalité {b). Sous le bénéfice de ces conditions, la périodicité apparaît, comme le lecteur le reconnaîtra sans difficulté, s'il veut bien se reporter au n° 385, où nous avons donné l'expression (') de F(w, w -f- 20)3). On voit que, dans le cas où h est négatif, si l'on se donne les pôles a/ de la fonction '^{u), le nombre de constantes arbitraires qui figurent linéairement dans l'expression de cette fonction est encore

(') On n'oubliera pas que h doit être changé en — h, puisque, dans le cas nous nous plaçons, h est négatif.

T. et M. — III. 3

/i 4- a,-l- oL.y +• • •+ ^Cvl c'est, dans tous les cas, le nombre de zéros contenus dans le parallélogramme, en comptant chaque zéro autant de fols qu'il y a d'unités dans son degré de multiplicité.

V. — Autres expressions propres à représenter les fonctions doublement périodiques.

389. Les fonctions doublement périodiques sont susceptibles d'être mises sous d'autres formes particulièrement importantes, et qui mettent en évidence à la fois les zéros et les pôles.

Dans ce qui suit, nous supposerons toujours chaque pôle ou chaque zéro répété autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.

Considérons d'abord une fonction de première ou de seconde espèce; elle a dans le parallélogramme des périodes autant de pôles que de zéros; désignons les premiers par «i, a^, . . . , a^, les seconds par b^, bi, • ' -, b^; IsL dérivée logarithmique de cette fonction sera une fonction doublement périodique ordinaire, n'admettant que des pôles simples; si at, a^^ ..., a^t, d'une part, b\^ 62, . . . , èv d'autre part, sont distincts, l'ensemble de ces points constitue l'ensemble des pôles de la dérivée logarithmique ; dans les autres cas, cet ensemble est constitué par ceux des points a,, «2? . . . , «v et ceux des points 6), ^2» • • • , ^v qui sont distincts; le résidu correspondant à chacun d'eux est, dans tous les cas, l'ordre de multiplicité du zéro ou du pôle de la fonction primitive, affecté du signe — s'il s'agit d'un pôle; de sorte que l'on a, dans tous les cas, pour la dérivée logarithmique décomposée en éléments simples, l'expression

c + ^(i<— 6,)+...+a"-^v)-ç(ii— «i)-...-ç("-«v),

où C est une constante. La fonction qui admet cette expression pour dérivée logarithmique est

(j{u — ai)'j{u — a^) ... a'(M — «v) OÙ les zéros et les pôles sont bien mis en évidence.

390. Quand on remplace, dans la dernière expression, u par u -\- 2Waj elle se reproduit multipliée par e-^'^a"^''^*, en désignant par d la différence entre la somme des zéros et la somme des pôles. L'expression précédente représentera donc, en général, une fonction de seconde espèce dont les multiplicateurs |x, et [JL3 seront donnés par les formules

2CtO,— 20?T)i = l0g[Jli, 2CW3 — 2C?T)3 = logJJlj,

d'où l'on lire inversement

C = — . (T), logfZs — 7)3 l0g[Xi), d= — . (C0il0g[jl3 — WslogfJli).

Ces relations ont été déjà obtenues aux n"^ 364 et 369.

391. Si l'on veut avoir affaire à une fonction doublement périodique ordinaire, les quantités log[ji.,, log 1x3 doivent être des multiples entiers de ira] en sorte qu'on doit avoir

C = o(modd. 27]i, 27^3) et <i? = o(modd. 2Wi, 2W3);

la dernière relation a déjà été démontrée au n" 356.

Comme le rapport de co, à {03 n'est pas réel, la supposition c^= 2/1, w, + 2/i3W3 entraîne les trois égalités

l0g[J(.3 = 2«iTrt, l0g[a, = 2/13 TTi, C = 2(/liTf)i -+- «37)3),

en sorte qu'une fonction doublement périodique ordinaire, dont les pôles «1, «25 • • . , «V et les zéros ^j, Z>2, • • . , b^ vérifient la relation

OÙ /î), ^3 sont des nombres entiers, aura pour expression générale

A est une constante qui a été mise à la place de e^'.

Si les représentants (') des pôles et des zéros ont été, comme

(') On a vu (n" 359) qu'il n'était pas nécessaire de prendre les pôles ou les zéros dans un môme parallélogramme, pourvu que chaque pôle ou chaque zéro soit représenté par un point congruent à a,, a„ ..., a„ ou b^, 6„ ,.,, b^.

on peut toujours le faire, choisis de façon que l'on ait

61 -I- 6, + ... -f- 6v = ai -H «2 ^ •■•-+- «V, l'expression de la fonction doublement périodique sera

(i{u — bi)<^(u— bi) ... cfiu — 6v)

Au)

puisque l'on aura alors /i, = /Zg = o. Cette formule met en évidence les zéros, les pôles et la double périodicité.

Toute fonction rationnelle entière de pw etde p'u est une fonction doublement périodique ordinaire n'admettant que le pôle o, qui est nécessairement multiple; la somme des zéros d'une telle fonction est donc nécessairement congrue à o (modd. 2Mt, 2 Wg) ; ce résultat équivaut à une proposition due à Abel. On voit en outre qu'une telle fonction peut se mettre sous la forme

. ^{u-bi)c^(u-b,)...^iu-b^)

392. Il y a quelque intérêt à retrouver ces divers résultats et, en outre, ceux de même nature qui concernent les fonctions de troisième espèce, sans nous appuyer sur la décomposition en éléments simples. Le théorème de Liouville y suffit.

En désignant par a,, ao, ..., «v les représentants des pôles d'une fonction de troisième espèce, et par bt, bo, • • • ■, bp les représentants de ses zéros, on voit, en se plaçant au point de vue du n° 85, que cette fonction doit être de la forme

yi^(a , == e^(«) ^("'-b,)^(u-b,)...cf(u-bp) . (j{u — a,)cj'(M — aï) . . . ^(m — av)'

cela résulte du théorème de M. Weierstrass sur la décomposition en facteurs primaires, et de ce que les seuls pôles et les seuls zéros de la fonction W{u) doivent être respectivement congrus, modulis ihii , 2W3, à a,, a^, . . . , «v et à 6,, ^o» • • • 5 ^p ! g{u) doit être une fonction entière, transcendante ou non. Posons, comme nous l'avons déjà fait,

{b i -\- b.2 -h . . . -T- b n) ~ {ci), -\- a^ + . . . -\- as^) = d , p — > — h\

APPLICATIONS l)U THÉORÈME DE CAUCHY. S.J

en remplaçant, dans W(u), u par u + aw^, eL en tenant compte des formules XII2, on trouvera immédiatement

Si donc on veut que la fonction ^(«) soit une fonction de troisième espèce, avec les multiplicateurs e"a"+^'aj il faut que l'on ait

g(u + 2aja) — g{u)-^ hrù^ ir^ri{hu-{- ho}a, — d) = Ma,u -f- Na + in^rù,

/la. étant un entier qui ne peut dépendre de u à cause de la continuité évidente du premier membre. En prenant les dérivées secondes par rapport à u, on en conclut

la fonction entière g"{u)-, étant doublement périodique, se réduit à une constante; o-^^^) est donc de la forme AW-+ Bw + C, où A, B, C désignent des constantes, et l'on devra avoir

Va -t- B) 2u>a-f- 4A2 + 2rix(A"-l-/iW3( — d) -hhru = Ma" + N 01.-^2/1^,1:1,

et, par conséquent,

Ma= 4AWa + ^Avia,

Na = 4A.u>| -h 2Ba)a -t- 2-irja(/iWa — d) -h hizi — 2n^r^i = w-fMa -+- aBWa — 2C?y)a -+- hrù — in^Tzi,

393. Il résulte de l'analyse précédente que toute fonction de troisième espèce qui admet les pôles «1, «2» • • • , «v et les zéros 6,, 62, . . . , bç peut être mise sous la forme

^r(„) = eA.=+B«+C ^{i^-bx)^{u-b,)...<:f{u-bç) (^{u — ai) a" (a — a^). . .^{u — Uy)

et que, inversement, toute fonction de cette forme est une fonction de première, de seconde ou de troisième espèce.

Considérée comme de troisième espèce elle admet les multiplicateurs e*'«""^^«, les constantes M^, Na étant exprimées au moyen de A, B par les formules qui précèdent. On en conclut immédia-

tement les relations

Ml -+- M2 -+- M3 = O,

Ni -f- N2 + N3 = MtWi -+- M2W2 + M3W3 + hru -t- ih'Tzi,

OÙ h' est un nombre entier, relations qui sont conformes à celles obtenues au n" 376; on retrouve aussi aisément la relation

Miojs — Msioi = /iTzi;

puis, en éliminant B entre les expressions de N, et de N3, on obtient, après quelques réductions immédiates, la congruence

c?= — . [wf M3— a)§Mi -+- 0)1 N3 — W3N1] — 2/ia)2, (modd.atoi, 2W3).

TZl

Inversement, si cette relation et la relation M, (O3 — M3 w, = hni sont vérifiées, on pourra déterminer les constantes A, B en fonction de Ma, Na et l'on obtiendra l'expression générale

tf (a — «1 ) a" (a — «2 ) • • • 3" (î< — «v ) dont on s'est donné les pôles, les zéros et les multiplicateurs

Le cas des fonctions de deuxième et de première espèce est contenu dans ce qui précède. Pour les fonctions de seconde espèce, on a M, = o, M3 = o, et, par suite,

A = o, P = V, puis

<j?= t__3 — — 3j 2 =^ — ((jjj logjX3 — C03 log[Jii) (modd. awi, 2W3),

en désignant par [x, et pis les multiplicateurs. Pour les fonctions de première espèce, on a

p = V, f^ = o, (modd. 20)1, 20)3).

En résumé, l'analyse précédente montre, d'une part, qu'il existe des fonctions doublement périodiques de première, de seconde et de troisième espèce, et elle donne, d'autre part, le type le plus général de chacune de ces fonctions.

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCHY. Sg

394. Enfin, il est aisé de former encore, au moyen des fonctions $ de M. Hermite, l'expression la plus générale des fonctions de troisième espèce qui ont un nombre donné de zéros et de pôles. Chacune de ces fonctions, quand elle est (transcendante) entière, se rapporte, comme on l'a vu, à l'entier positif h qui exprime le nombre de ses zéros ; pour garder la trace de ce nombre, nous

t emploierons ici la notation ^^h){u) qui représentera la fonction entière la plus générale de troisième espèce avec les multiplica-

leurs I , e "'

Considérons maintenant une fonction "^{11) de troisième espèce, admettant p zéros et v pôles dans le parallélogramme des périodes. Nous pourrons former (n° 381) une fonction entière $(v)(m + G), qui admette pour zéros les v pôles de W(w). La fonction W(M)<ï>(v)(zf-f- C) n'admettra plus de pôles; elle sera de troisième espèce; elle admettra p zéros, les p zéros de W(a); elle

sera donc de la forme

e'^"'+i"'<ï>(p)(it-f-D);

la fonction ^ {u) sera donc de la forme

yv{u)

Inversement, une telle expression est une fonction de troisième espèce admettant v pôles, p zéros et ayant relativement aux périodes 2(0,, 2(1)3 les multiplicateurs

4AW,«+4Awî-l-2BW, UW3M+4AWI+2DW3 — -— (H + tO,) — — (pD — vC)

OÙ l'on a encore posé /t := p — v. Ces multiplicateurs peuvent être identifiés avec e*''"+^'', e^'8«+'<3^ si Pon a

h-KÏ , .,

4 ACOi = Ml, iPi(i^3 = M3, 4AWT H- 2B(0i + 2ni ut = Ni,

4Aai§ -f- 2B0i3 (pD — vG) + 2/l3 7rt =N3,

lOi tOi

en désignant par/i,, n-j des nombres entiers. On tire de là, en éliminant A et B,

Ml 0)3 — M3a)i= hT:i,

N3101 — Ni (1)3 = Ml 0)3 ((1)3 — lOi) — hTziiùi

— Ttl(pD — V G)-t- 2Ttl(«3 Wl — «)("3)-

4o CALCUL INTÉGRAL.

Si l'on se rappelle (n" 381) que p(cL)2 — D), v(ol)2 — C) sont respectivement congrus (modulis 2w,, acoa) aux sommes des zéros des fonctions $(pj(w-f-D), <I>(v)(w-t~ G), on voit que la quantité V C — p D est congrue à /i 102 + d, en désignant par d la différence entre la somme des zéros et la somme des pôles de W(u); la seconde des égalités précédentes nous fournit donc encore une fois la congruence

j W1N3 — W3N1 W?M3 — wIMi , / 11 N

a= -. 1 : — ^— — 2Aa>2 (modd. 2 0)1, 20)3).

TZ l TZl

395. Le cas que nous venons d'examiner contient le cas des fonctions de seconde et de première espèce. Pour ces dernières, en particulier, on trouve A = 0, B=o, C = D, et l'on voit que la fonction doublement périodique ordinaire la plus générale, comportant v zéros et v pôles, peut être mise sous la forme

. Ao1'o(m. -H-G)-)- Ai^i(^-)-G)-4-...-H Av-i<t>v i(M-t-G)

où C, Ao, ..., Av 4, Ap, ..., A'v i sont des constantes arbitraires, et $05 ^i, ■ • •■, ^w-i des fonctions parfaitement déterminées, dont la forme a été rappelée au n" 381 ; on doit toutefois remplacer la lettre h par la lettre v.