IV. — Fonctions doublement périodiques de troisième espèce

375. En faisant un pas de plus dans la voie que nous venons de suivre, nous sommes amenés à étudier les fonctions que M. Hermite a désignées sous le nom de fonctions doublement périodiques de troisième espèce; c'est à ce tjpe qu'appartiennent les fonctions du^ d^u^ ^('^)' Les fonctions de troisième espèce sont définies, en général, comme étant univoques, comme n'admettant aucune autre singularité à distance finie que des pôles, et enfin comme satisfaisant aux équations fonctionnelles

M,,N,, M3, N3 étant des constantes. Ici encore, il est clair que les pôles et les zéros de la fonction *F(m) devront se reproduire périodiquement.

376. Les constantes M,, N,, M3, N3 ne peuvent être choisies arbitrairement; en efTet (*), les équations précédentes entraînent celles-ci :

^F(i<-r-'JlWi -+-20)3) = e(Mi + M3)«+2M,W3 + N,+N, \p(„) — g(M, + M3)« + 2M3W,+N, -t-.Xa XJ" ( f< ) ,

et ces dernières exigent que l'on ait

M1W3 — M3W1 = Attj,

en désignant par h un entier positif, nul ou négatif.

Dans l'expression de W(u -t- aw, + 2(03), remplaçons u par /^ + 2(02 et résolvons par rapport à W {u -\- •j.<ù2) ] en tenant

(') C'est le même raisonnement qu'au n° 92.

compte de la relation w, + lOo + W3 = o, nous aurons d'où l'on conclut qu'on peut écrire eu définissant M2 et N2 par les égalités

Il seconde égalité, où h' désigne un entier quelconque, résulte lément de ce que l'on a Ai lai

Ml -f- M.2-+- M3 — O, Xi -4- N2 -I- N3 — M 1 w 1 — M2 W2 — M3 W3 = ( 9. h' -+- h)r. i.

^(Mi -h M3) W2 2M3W1 — (xMiCOi + M2t02-+- MstOa) = M1W3 M3W1,

Ainsi, les six constantes M| , Mo, M3, N), No, N3 satisfaisant aux îlations précédentes, on pourra remplacer les deux équations fonctionnelles qui définissent la fonction ^ (u) par les trois équations

W(u-h'?.io^j^)= eM«" + >'aXF(M) (a = r,2,3).

Nous conservons aux quantités e*'»"-^'"^» le nom de inultipUcateuis, déjà employé pour les fonctions de seconde espèce.

377. Le produit ou le quotient de deux fonctions de troisième espèce est aussi une fonction de troisième espèce; les multiplicateurs de la fonction ainsi engendrée sont les produits ou les quotients des multiplicateurs correspondants des fonctions primitives. Lorsque le premier multiplicateur ^^'1"+^' est égal à i, la fonction est dite réduile.

Une exponentielle de la forme eA"'+B"+c^ où A,B, C sont des constantes, est une fonction de troisième espèce; on peut disposer de A, B de façon que le multiplicateur de cette fonction relatif à la période 2to, soit précisément g*''"-*-^' , m, et N, étant donnés. Dès lors, étant donnée une fonction de troisième espèce, on peut la réduire, en la multipliant par une exponentielle de la forme précédente. Inversement, toute fonction de troisième espèce peut se déduire d'une fonction réduite, par le même procédé.

22 CALCUL INTÉGRAI.

378. Dans une fonction réduite de troisième espèce, on peut supposer nuls M, et N, ; M3 se déduit alors de la relation

Mio>3 — M^wi = hr.i,

et la fonction doit vérifier les équations fonctionnelles

Observons que la constante N3 n'a pas grand intérêt; si, en effet, dans les équations précédentes, on change n en u -+- C, en désignant par C une constante quelconque, puis que l'on désigne par Wi (u) la fonction W{u + c), on voit que la fonction W, (n) vérifie les équations

lltZi II TC/C

ce sont les mêmes équations que vérifie *ï''(;^), si ce n'est que N:j est diminué de —^ ; d'ailleurs, connaissant la fonction ^P'i(w),

on connaîtra la fonction W(?<) = ^^\{u — C), On peut donc suj)poser que N;( ait telle valeur que l'on voudra, par exemple la valeur o, ou la valeur — -'• Dans ce dernier cas, les équations

fonctionnelles qui déterminent la fonction ^I''(m) prennent la forme

Ainsi la recherche des fonctions de troisième espèce se ramène à celle de la solution la plus générale de ces équations fonctionnelles.

379. Avant d'aborder cette recherche, nous allons établir, pour les fonctions de troisième espèce W[u)^ à multiplicateurs quelconques, deux relations concernant l'une la différence entre le nombre des zéros et celui des pôles, l'autre la différence entre ];i somme des zéros et celle des pôles, analogues à celles qui concernent les fonctions de première et de seconde espèce.

Appliquons d'abord l'égalité fondamentale du n" 352 à la fonction

Puisque la fonction ^V{ii) n'admet pas d'autre singularité à distance finie que des pôles, le nombre de pôles ou de zéros de cette fonction contenus dans le parallélogramme des périodes sera nécessairement fini. Désignons par «,, a-i, . . ., «v d'une part, par />,, 0-2, . . - , 6p d'autre part, les pôles et les zéros contenus à l'intérieur du parallélogramme autour duquel on effectue l'intégralion, chaque pôle ou chaque zéro étant répété exactement autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité; la somme des résidus de la fonction F(m), à l'intérieur du parallélogramme, sera o — v.

Le calcul du premier membre de l'égalité fondamentale pour donc

F(//) = est immédiat; on trouve 2(lMit03 — Msto,). On a

2(Mi (lis— M3W1) = 2711 (p — v),

en sorte que le nombre entier que nous avons désigné plus haut par h n'est autre que l'excès du nombre de zéros sur le nombre de pôles.