I. — Les fonctions a', Z, p

396. Nous établirons dans ce Chapitre diverses conséquences très importantes de la formule de décomposition des fonctions doublement périodiques en éléments simples, conséquences dont plusieurs ont déjà été établies, mais qu'il convient de grouper maintenant autour d'une même origine et dont la déduction ne supposera rien autre chose, en dehors de la définition des fonctions (3", p, Ç, . . . et des propriétés qui résultent immédiatement de cette définition, que les propositions générales établies dans le Chapitre précédent.

Considérons d'abord la relation (VIIi)

a'iu -h a)a'{u — a)

1 ; — 1 :: = pa — pu,

et désignons-en le premier membre par /(m); on reconnaît immédiatement que /(«) est une fonction doublement périodique à périodes awi, atog, admettant, comme seul pôle dans le parallélogramme des périodes, le point o : ce pôle est d'ailleurs double ; /(w) doit donc être de la forme C-1-C'î^'m = G — C'pw où C et C sont des constantes; C est le coefficient de la dérivée de -

dans le développement de /(m), mis sous la forme CD --h $(m); dans ce développement, on n'a pas fait figurer de terme en u~^ , parce que le pôle o est double. On peut dire encore que C et — C sont le terme indépendant de u et le coefficient de u~^ dans le dé-

veloppement def{u) suivant les puissances ascendantes de ?/ ; on obtient ce développement en multipliant le numérateur de f{u),

1^ a -\- Il :i a -\ tfa-f-...! — da -{- u<i a tfa-H.

expression qui, ordonnée suivant les puissances de u^ donne

— tf^a-f- (cy'2a — a a a'" a) u^-h. . .,

par le développement de — — ^^^r~ ' ^^i ^^ s'appuyant seulement sur la formule (IV,) et les définitions (IV5), on trouve

le coefficient de — et le terme indépendant dans le développement de/(w) sont donc respectivement — 1 et

(y'^a — a'aa'"a d tf'a

on a ainsi — C'= — i, C = J3a ; cette dernière valeur, après avoir obtenu C'^i, pouvait s'obtenir en remarquant que C — G'j3?f doit s'annuler pour ?^ = a, de même que/(w). Finalement, la formule (Vil,) est démontrée à nouveau.

Observons d'ailleurs que le premier membre de cette formule appartient au tjpe du n°391, où les zéros et les pôles sont mis en évidence; la somme des affîxes + a, — a des deux zéros est bien égale à la somme de l'affixe du pôle double o.

Rappelons encore que, de cette formule (VII,), on tire immédiatement les formules d'addition (VII3)

p(.±:a)-p.^=.-l j-P'" + P'", •^ ^ 1 du pu — pa

dans chacune desquelles le premier membre n'est autre chose que le second décomposé en éléments simples; nous reviendrons sur ces formules dans un Chapitre suivant.

397. Etablissons maintenant l'équation différentielle (Vile). Nous observerons pour cela que toute puissance entière de jd ?/ est une fonction doublement périodique admettant le seul pôle zéro, qui est d'ailleurs multiple d'un ordre double de l'exposant de la puissance ; le résidu de ce pôle est nul ; par exemple o est un pôle sextuple pour p'^ u, et l'on doit avoir

p^u = C -f- Al Ç' M -t- Â2 r "-•-•••+ A.5 ^'' M,

en désignant par A,, Ao, . .., A5 les coefficients qui apparaissent dans le développement de p^ u mis sous la forme

p3a = AiDi ^A2D2-!--f-...+ A5D5i +^(a);

quant à la constante C, elle est ici manifestement égale au terme indépendant de u dans ce même développement; en utilisant seulement la formule (IV3)

écrite en tenant compte des définitions (IV5), on calcule aisément la partie fractionnaire et le terme indépendant de u dans le développement de p^ m; on trouve ainsi

U^ 20 U^ ib 10 20 u I'20 u

et l'application de la règle précédente donne

En appliquant exactement la même méthode à la fonction doublement périodique p'- u, dont le seul pôle est encore o, et pour laquelle ce pôle est encore sextuple, on obtient

p'2 M = ^ ^ pu-^ — p'v a.

En éliminant p'^w entre les deux dernières équations, on trouve p'2u = ^p^u. — gipu — gz.

398. Les formules fondamentales relatives à la division par n de l'une des périodes se présentent comme d'elles-mêmes.

Si, par exemple, on considère la fonction ^{u\~, 0)3 j dans le

parallélogramme relatif aux périodes aw,, 2CO3, on reconnaît de suite que c'est une fonction doublement périodique dont les pôles, tous doubles, sont donnés par la formule u =.ir —-, où r prend les valeurs o, i, 2, . . ., « — i ; d'ailleurs on a

en sorte que la formule de décomposition en éléments simples nous donne, en désignant par C une constante,

d'ailleurs, si l'on fait tendre u vers zéro, on reconnaît de suite, sur les développements en série, que la différence du premier membre et de jdm tend vers zéro; il en résulte

et l'on retombe ainsi, après avoir changé u en — «, sur la formule (XXI4), d'où l'on pourrait déduire par intégration les formules analogues (XXI3) et (XXI2), qui concernent les fonctions ^ et a*.

399. De ces formules et de celles qui eu résultent lorsqu'on j transpose les périodes 210,, 20)3, on peut déduire des formules de multiplication pour les fonctions d^ l^, p. Il suffit de répéter ce que l'on a dit au n° 347 pour établir les formules de multiplication relatives aux fonctions sn, en, dn.

Mais on parvient aux mêmes formules en décomposant la fonction p(nM) en éléments simples.

Pour simplifier l'écriture, nous poserons

2fia)i

A = 2p(«m)' B = 2Ç(«ix,v).

En appliquant la formule du n° 358, on a

^p(nu) =^p(u — a^^^) — A..

En intégrant, puis passant des fonctions Z, aux fonctions c^, on obtient ensuite les relations

Dans toutes ces relations les sommes sont étendues à toutes les combinaisons a, v des entiers o, i , 2, . . . , ;i — i ; le produit est étendu à ces mêmes combinaisons, la combinaison |jt. = o, v = o, exceptée.

La dernière relation s'obtient d'ailleurs aussi en répétant, sur la fonction d(nu), les raisonnements que l'on a faits au n° 134

sur la fonction d(u\—, Wgj; elle résulte au fond d'un groupement convenable des facteurs de la fonction d{nu) décomposée en ses facteurs primaires et de l'application de la formule (V,). Si, dans la dernière relation, on remplace u par u-{- awa et si l'on fait usage des formules (Xil2), on voit que les expressions

doivent être, quel que soit m, de la forme im^r:i, où m^ désigne un nombre entier; on a d'ailleurs

on voit donc, d'une part, que A est nul, et, d'autre part, que l'on a

Si l'on écrit cette égalité pour a = i et pour a = 3, on trouve

successivement, en faisant usage de la relation ri, Wg — ri3(o, = ±^>

les relations

•im^iMy — ami W3 = qr n(n — 0^2)

B = ±(2 ma 7)1 — 2miï]3) = ± Ç(2m3cui — amicos)

— Ç[/l(rt — 1)0^2] = — ll{ll — 0''Î2'

On a donc finalement établi les formules de multiplication

(IC) / (2) rii;{nu) = ^l^{u — a^^^y)-n{n — i)ri2,

(3) rt2p(,iji) = 2]p(m — «jX.vX

et l'on a aussi démontré les relations

(IC4) 2^ajjL^^) = ,t(,i — i)rj2,2p(api,v) = o;

dans toutes ces formules, les sommes sont étendues à toutes les combinaisons des indices [Ji, v choisis parmi les entiers o, i, 2, ..., n — I ; pour le produit, la combinaison jx ^ o, v = o est exceptée.