Les fonctions

cf^u p--0a"j-(M-HOa)

sont des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, à multiplicateurs H- i et — i ; les derniers membres appartiennent au type X(u) du n° 366.

Les carrés des fonctions ^ sont des fonctions doublement périodiques de première espèce ; observons que les formules (LXIÏI, ^3,4) ne sont autres que des formules de décomposition en éléments simples. Il en est de même des formules (LXIIIs^c) relatives aux fonctions ipo(w ) ^ïo('Oj ioY('0 ^ap(")-

402. La théorie de la décomposition en éléments simples des fonctions de seconde espèce conduirait sans difficulté aux équations différentielles que vérifient les fonctions Ç; par exemple, en observant que la fonction ipo(") ^yo(") admet les mêmes multiplicateurs que la fonction iao('')> *!"'> n'ayant pas d'autre pôle que zéro dans le parallélogramme des périodes, peut jouer le rôle d'élément simple, et que cette même fonction ipo(w)iyo(«) admet, comme pôle unique, le pôle double 11 = 0^ on voit qu'on peut

écrire

?po(«)?ro(«) = A^ao(") ^-B^;o(M),

A et B étant des constantes : or, en se rappelant seulement que le développement de ^ao ( w), suivant les puissances ascendantes de u, commence par un terme en - et ne contient pas de terme indépendant de u, on voit de suite, si l'on égale dans les deux membres les coefficients des puissances négatives de u, qu'on doit avoir A = o, B = — I : on retrouve donc ainsi la formule (LXI|)

$âo(«) = — $.3o(")?Vo(").

d'où l'on déduit immédiatement l'équation différentielle (LXII,)

lâo(") = [«a — ^15 -4- ^|o(")] [^a— Cy-I- ^âo(«)J-

4-03. Supposons n impair. Dans le parallélogramme des périodes de la fonction j3(w | w, , Wg), les fonctions ioa \u — -> iii-i ) >

ipy/if — jWgj sont doublement périodiques de seconde espèce,

avec les mêmes multiplicateurs ± i que les fonctions ioa('^)» ipY(?<). Leurs pôles et leurs zéros se mettent immédiatement en évidence, d'où l'on conclura sans peine leurs expressions sous forme de produits rentrant dans le type du n" 389 ; on retrouve ainsi les formules, relatives aux fonctions ^, que l'on obtiendrait par la division membre à membre de celles, relatives aux fonctions rf, qui figurent au Tableau (XXVI).

La décomposition en éléments simples permet d'obtenir, sous forme de sommes, les expressions des fonctions

on trouve ainsi, en particulier et en conservant les mêmes notations qu'au n° 129,

{r = /'o, /'i, ..., rn-i)-

Les formules (LXXXVII.-a) et (LXXXIX.-g) se déduisent de celles qui précèdent par le passage des fonctions ^ aux fonctions sn, en, dn.

404. Les combinaisons que l'on peut former en multipliant une fonction ^ de l'argument 11 par une fonction ^ de l'argument 11 + a sont des fonctions doublement périodiques de première ou de se-

conde espèce; on parvient à des formules intéressantes (') en les décomposant en éléments simples.

Considérons, par exemple, la fonction iao(") iao (" + «); elle est de première espèce, du second ordre; ses pôles, qui sont simples, sonto, — a et les points congruents; le résidu relatif au premier pôle est ^aoC^'^); OQ en conclut de suite

^ao(")?ao («* + «) = ?ao(«)[C« — C("^-«)-+- A].

A est une constante que l'on trouve égale à J^a<^ en écrivant que le second membre est nul pour ii = Wa-

Nous récrivons ci-dessous la formule ainsi complétée, et d'autres qui s'en déduisent, en ajoutant Wa ou wp à u ou à a. Ces formules, et celles qu'on en déduirait en échangeant les lettres u et a, donnent les décompositions cherchées de celles des combinaisons que l'on considère qui sont de première espèce,

?oa(«)^ao(«)?ao(« -+-«)= C« — Ç (m +«) H-^a «,

\ (^a — ep)(ea— eY)^oa(«)?oa(«)?oa("-(-a) = Ca" — Ça(« + «) + Ça«,

(Cl) / (ep — ea)?oa(«)lYp(")?rP^"^-«)=^P" — ^pC"-!-»)-^?»»,

i ^ao(«)Uo(«0^oa(" + «)= s" — Ça(«i + «)+ C«,

En tenant compte des relations (LXIIIg-e) on voit que la première et la troisième des relations précédentes peuvent s'écrire

rtf — !;(i<-4-«)-^^a = ^oa(«) ^ao(") ?ao(" -H «) + ?po(«) ^;'a(«), Ca«i — sa(« -^ «) -^ ba« = (^a— «p) ?op(«) [$va(") ^ya(" + a) — Iyo(«)].

Sans nous arrêter à multiplier les relations de cette nature, rappelons que Î^m — J^(ï<H-a)-t-î^a n'est autre chose (VII3) que

'P ^ 'P — Enfin, on voit aisément que, en faisant tendre a

ipu — pa i '

vers o dans les formules précédentes, on retombe sur les formules de décomposition en éléments simples (LXIII,^ 3^ 4) des fonctions

iao(w), Çua("), ^3y(")-

405. En consultant le Tableau (XII2), on aperçoit que le multiplicateur [jia de la combinaison l{u)^{u -+■ a), où chacune des

(') Voir le Cours de M. Hermite, XXIV* Leçon.

T. et M. - III. 4

deux fonctions l est affectée d'indices quelconques égaux ou inégaux, est égal au produit d'autant de facteurs égaux à ( — i) qu'il y a, parmi les indices des deux fondions i, de nombres o et a. Il en résulte que si /», r/, /*, s sont pris parmi les nombres o, i, 2, 3, /? et ^ d'une part, /• et s de l'autre, étant nécessairement inégaux, les expressions ^pç{u) Irsiii- -h a) sont des fonctions doublement périodiques de première espèce ou de seconde espèce avec les multiplicateurs + i et — i. Celles de ces fonctions qui sont de seconde espèce sont celles pour lesquelles les deux systèmes (/?, q), (r, 5) admettent un élément commun et un seul. Considérons, par exemple, la fonction ^pq(u')^pr(u -+- a) où les nombres q et /■ sont différents entre eux et différents de /?, et désignons par s celui des nombres o, i, 2, 3 qui n'est ni y?, ni q, m r. Cette fonction et celles qui s'en déduisent, soit en remplaçant p par s, soit en échangeant deux des nombres p et q ou p et /•, ont les mêmes multiplicateurs; ces multiplicateurs sont d'ailleurs aussi ceux des fonctions ^qr{u) et \ps{u)- D'ailleurs la fonction \p(j[u) 'ipr{u -\- a) n'a que deux pôles, simples tous deux, dans le parallélogramme des périodes; elle s'exprimera donc en fonction linéaire de deux des expressions

;/;5("+«'l), ii,s{u-^lll), Iqriu^u'i), 'c,,,r{u -+- U',),

les constantes U\^ u-,^ «', , u'., étant fixées de façon que les deux expressions choisies aient leurs pôles congrus à ceux de la fonction ^pç(u) lpr{ii -\- Cl)' La même chose s'applique aux fonctions qui se déduisent de la fonction ^pq{u) ^pr{u + «), en remplaçant p par 5 ou en échangeant deux des nombres p el q ou p et /*.

Dans chaque cas, les coefficients des fonctions linéaires s'obtiennent très aisément en donnant successivement à a des valeurs qui annulent chacun des termes.

On doit avoir, par exemple,

^ay(«) ^py(« -^ «) = A ^oyC") + B^oy(" + «),

et l'on déterminera les coefficients A, B en supposant successivement u = o, u = — a. On trouve ainsi une série de formules, parmi lesquelles nous n'en transcrirons que trois, parce que les autres, quand on passe (L1X| ) des fonctions ^ aux fonctions a", ne fournissent pas de relations distinctes de celles qu'on déduit de la

même façon des trois seules formules que nous conservons, savoir :

m ^] («p— ^a)^oa(«)?va(«-f-«) = ?po(«)^pa(«) — ^ao(«)?pa("^-«), J («a— ep) $ya(")lrp(" -+-«) = {«a— ^y) $py(a) l^a{u) \ +(ev— ep)^aY(«)çap(^i^-«)•

De ces formules et de celles qui s'en déduisent par le changement de a en a, il serait bien aisé de déduire les formules d'addition des fonctions \; enfin on reconnaîtrait mieux leur nature et, en particulier, leur genre de dissjmétrie en les récrivant après avoir remplacé u par b el u -\- a par — c, a, b, c étant alors supposés reliés par la relation symétrique « + 6 -h c = o ; mais nous laissons au lecteur le soin de développer ces matières.

406. Les notations relatives aux fonctions Ç permettent de condenser beaucoup les formules. Lorsque l'on veut passer de ces formules aux fonctions sn, en, dn, il est nécessaire de particulariser les valeurs des indices a, |^, y, en sorte qu'une formule où ne figure qu'un seul de ces trois indices conduit à trois formules relatives aux fonctions sn, en, dn; une formule où figurent deux ou trois indices a, p, y fournit six formules qui, à la vérité, peuvent n'être pas distinctes. Nous n'écrirons ici que quelques-unes des formules relatives aux fonctions de Jacobi; le lecteur obtiendra les autres, soit par le même procédé, soit en ajoutant à l'argument les quantités K, f'K', K -f- «R'.

Tout d'abord la relation (LXIII3) donne, pour a = 3 et en rem-

plaçant u par ■■

v/^i — es (ei — es) («2- 63)^03 ( / " ) = —«i—'^'si ,— )

ou, en tenant compte des formules (LXVll)), (LXXVIIT',) et

(xxxviio,

A-2 sn2« = ll^ "" — Z'{u).

On en déduit, pour a = o,

(GII.) Z\o)^l±±--—^l=^;

puis

(GII4) A-2sn2M = Z'(o) — Z'(m).

Comme on a cn^ u= i — sn^ u, dn- m = i — k- sn- m, on en conclut les formules

( A-2cn2M = /:2 z'(o) + Z'(m), '^ ^ j dn2M = i — Z'(o)-4-Z'(jO.

Si dans ces formules on ajoute K, iK', K + iK' à l'argument m, on obtient des formules analogues concernant les inverses des fonctions sn^u, cn-u, da^ 11 et leurs rapports mutuels; toutes ces formules sont, au fond, contenues dans les formules (LXIII).

De la même façon, on déduira des relations (XGVII), en y supposant a ^ 3, celles-ci :

/ Z{u) -+- Z{a) — Z(a-4-a) = /c^ sna snu sn[u -{- a)

(Cil) < A-ïsna^ ^ ^, sna^, , , . ^,

/ = — i [en a — cnw cn(« + a) 1 = — [un a — dnu dn(a-{- a)];

\ dna "^ ^ ^-' cna"-

puis, des formules (C2), les suivantes :