CI

snacnudn{u -h a) = di\asn{u -h a) — cna sn m, cna cnu dn(u ■+- a) = dna dnu cn{u + a) -h k'^ sna snu, dnacnuin{ii ■\- a) = sna dn(M + «) -f- sna cn(ii -f- a), ^2 cna cnM cn(a -i- a) = dna dnu dn(it + «) — A-'2,

auxquelles il convient d'adjoindre, outre les formules qui résultent du groupe précédent quand on néglige le premier membre, celles qu'on en déduit en échangeant les lettres u et «, et en remplaçant successivement u par u — a et a par — a.

III. — Développement de pw en série entière. — Expression des dérivées de ^uqX de fi{u — a) au moyen des puissances de pu. — Expression linéaire des puissances de p« au moyen des dérivées de p«.

4-07. L'équation différentielle obtenue pour la fonction jjw conduit à des conséquences importantes relatives au développement en série de cette fonction et à l'intégration de ses puissances entières.

Rappelons tout d'abord que l'équation différentielle (Vllg) permet (n° 101) d'établir la formule récurrente

(r-3)iir-^i)Cr='i^CiCr-i (/•i4),

qui, jointe aux expressions déjà connues (IX3) de C2 et de c^, fournit autant de termes que l'on veut dans le développement de pu

On reconnaît immédiatement que la série qui représente pu est

iivergente, sauf au point o, pour tous les points intérieurs au

I icle décrit du point o comme centre, avec un rayon égal au plus

])(lit des nombres 2 | Wa|. Grâce à la périodicité et à l'emploi du

théorème d'addition, on peut toujours ramener le calcul de pu

au cas où le point u est intérieur à ce cercle.

Du développement de pu on déduit immédiatement celui de

Ç «^ = — fpu du

qui converge dans les mêmes conditions, et celui de la fonction transcendante entière

cïu = e-*"?" ''«

I H- / ^ a <5?a -f- j-L [fZ,u duy -+- .

les premiers termes des développements de pu, Î^m, o'w figureront dans le Tableau de formules.

408. On voit d'ailleurs, sans aucun calcul, sur la formule récurrente jointe aux expressions de C2 et C3, que chacune des expressions Cr+i est un polynôme entier en g2i gz à coefficients numériques rationnels. Parfois, on désire mettre en évidence la forme seule de l'un ou l'autre de ces polynômes c^+i sans s'occuper de la valeur numérique de ses coefficients; on j parvient facilement en faisant usage de la formule d'homogénéité (III3).

Si l'on désigne par \ un nombre quelconque et par C^+i ce que devient C;-^, quand on remplace co,, cog par Iw,, Xwg, on voit immédiatement en appliquant cette formule que l'on a la relation

D'antre part, si l'on désigne le poljnome entier en g^^^ «-3, qui représente c^^, par

OÙ ao, ag sont des entiers positifs ou nuls, où Aa^a, est un nombre rationnel et où la somme est étendue à un nombre fini de combinaisons des entiers ao, aj, on a manifestement

^'•+1 - 2d "''"' X^aa "X6a3

(OCj, «a)

Il suffit de comparer ces deux résultats pourvoir que les nombres entiers positifs ou nuls ao, as qui correspondent au nombre entier déterminé, positif ou nul, r vérifient nécessairement la relation

En tenant compte de cette relation, on voit immédiatement quelle est la forme du poljnome en ^27 gz cjui représente c^+i- Ainsi le coefficient <?< 2 de u-'- est de laforme A^g + B o-^^2 j q^«^ où A, B, C sont des nombres rationnels, puisque la relation 2a2 + Sag = 12 n'est vérifiée que pour les trois couples d'entiers positifs ou nuls a2 = o, ag = 4 5 a2 = 3, ag = 2 ; ao = 6, ag = o.

Il va sans dire que ces résultats pourraient se déduire sans peine, par induction, de la formule récurrente elle-même.

409. Au développement de du^ il convient de joindre celui des fonctions d^ii^ ou, plus généralement, de la fonction transcendante entière de «,

cr Uq n !

qui se réduit à d^ii pour Uq = w^; la relation

I \df{u,u,) df{ii,u^n

dont la déduction est immédiate, fournit la formule récurrente

A„= —^ (n— l)A„2pMo,

qui permet d'obtenir autant de termes que l'on veut, dès que l'on a les deux premiers, qui s'obtiennent directement : on trouve ainsi

Ao = i, Ai = o, A2=— pwo) ^3= —p'uo, Av = — Sjy^Mo-t- — > •••;

il ne reste plus qu'à faire «^o = f»>a pour avoir le développement cherché, dont on trouvera les premiers termes dans le Tableau (XCIII).

410. En effectuant la division de la série qui représente/(i^, Uq) par la série qui représente du, on obtient le développement de la fonction X{u, Uq) du n° 374, sous la forme

développement qui est valable dans les mêmes conditions que celui qui représente pu] d'ailleurs l'équation différentielle linéaire (n" 374) que vérifie X[u, Uq) fournit, pour les coefficients y.,i dont l'indice est supérieur à 3, la formule de récurrence

-j- -\- puo -r -H 2 C2

'' (/t— 6)! ■ ■■' ' {n — 'ir)\ ' ''

où les Cr sont les coefficients du développement de pu; l'indice r ne doit pas dépasser la valeur-; si n est pair, (n — a/)! doit,

pour 7=^ —, être remplacé par i. On trouvera dans le Tableau (XGIV) les expressions des premiers coefficients.

411. Le raisonnement que nous avons fait pour p^u dans le n" 397 montre en général que p" u, où n désigne un entier positif, est une fonction linéaire de pu et de ses dérivées, jusqu'à la {'ifi — a)'^""^; on a plusieurs manières pour calculer ces fonctions linéaires, de proche en proche.

Tout d'abord, maintenant qu'on est en possession du développement de pu, avec autant de termes qu'on veut, on peut appliquer exactement la méthode que nous avons suivie pour J3^ f^, c'est-à-dire la formule de décomposition en éléments simples.

On peut encore utiliser cette remarque déjà faite au n° 101 ; les dérivées d'ordre pair de pu sont des polynômes en pu. Inversement l'expression de ces dérivées permet, comme on le verra tout à l'heure, d'obtenir, par la résolution d'équations du premier degré, les expressions linéaires des puissances de pu au moyen de pu et de ses dérivées d'ordre pair. H y a donc quelque intérêt à pouvoir pousser un peu loin le calcul de ces dernières; voici comment on peut procéder.

Si l'on pose pour abréger y = pu^ on reconnaît aisément par induction (n° iOl) que la dérivée 2/1'^'"^ de pu^ que nous représenterons par P„, est un polynôme en y de degré /i -h i ; désignons par P^'j, PJj les dérivées première et seconde de ce polynôme, prises par rapport à y. On aura

du " du^ du''- " \dul " du"^ '

mais on a, d'une part,

d^Fn d'-'i+'ipu

du-^ "^ f/M2«+2 — «+!'

et, d'autre part, à cause des équations (VIIg-t),

on aura donc, en remplaçant,

cette relation, jointe à celle-ci

permet évidemment de calculer de proche en proche les polynômes P« ; on trouvera dans le Tableau (XGVII) les expressions de P,i pour les premières valeurs de /z.

412. Quand on veut pousser les calculs un peu loin, il est commode de les fractionner davantage et de calculer séparément les coefQcients de chaque polynôme.

APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. ,5j

Il suffit d'observer ceux des polynômes qu'on a calculés pour prévoir que P« doit être de la forme

où les coefficients A^âl]<x, sont purement numériques et où aa, a;, sont des entiers positifs ou nuls qui satisfont à la condition

•2 a2 -H 3 as ^ rt -4- I ;

il sera commode tout à l'heure d'admettre que les indices ao, cl^ peuvent prendre d'autres valeurs que celles-là, mais que, alors, les coefficients A^^'œ^ sont nuls.

Le fait que le polynôme P„ est ainsi constitué résulterait d'ailleurs aisément des propriétés d'homogénéité de la fonction p{u] gii gz)\ il nous suffit ici de le regarder comme un i^ésultat d'induction : car la subslilulion de la valeur précédente de P^, dans le second membre de la relation de récurrence, montre bien que la loi se conserve pourP,,^,, et que dans ce polynôme le coefficient de

o-a. p-aa i^tt-4-2— 2ai— sa,

est le nombre P^^^^^l en posant

Aa",tà' = ("î/i -i- 2 — 43C2— ôas) {in H- 3 — 4=^2— 6x3) A^'^'^j^ - ( « 4- 3 — 2a,— 3 as) ( n + 4 — 25t2 — 3 as) A^^'^^^,!

^ (2« + 5-4a2— 6a3)Ai/;Li,a3;

dans cette formule 0.2 et as doivent être deux entiers positifs ou nuls qui vérifient la condition aaaH- Sag^/i -+- 2, et ceux des coefficients d'indice supérieur égal à /?, pour lequel l'un des indices inférieurs est négatif, ou pour lequel la somme de deux fois le premier et de trois fois le second dépasse n-t-i doivent être regardés comme nuls. La relation précédente permet évidemment de calculer les coefficients du polynôme Ph^.» quand on connaît ceux du polynôme P„-, elle permet même de calculer autant des coefficients que l'on voudra de P^ en laissant n indéterminé; ainsi elle donne

A[,«J»)=.(2nH-2)(2/i-t-3)A'„'J'o,

et comme l'on a A.J,"q ^ 3 !, on en déduit de suite

on trouve aussi, pour n plus grand que i , 2, 3, 4, respectivement