AH-1)! ~ 20 ' (2/H
A'ii^i) (n+i)(3n — 8) A'i^'i (n-t-i)(ii/i — 3fi)
(2« + i)!"~ 23,3.52 ' (2«.-i-i}!~ 2'^.5.7.ii
413. Ayant ainsi formé les expressions de P,, Po, P3, . .., il suffira de résoudre les équations ainsi obtenues par rapport à y^, y^,y^., . . . pour avoir les expressions de ces puissances de pu en fonction linéaire de y et de P, , Pg, P3, c'est-à-dire de pu et de ses dérivées d'ordre pair; on obtient ainsi
p.„=£__+^£f ^"lp,-^__^2;
ff-2 2'''. 3'
fp
Sur ces formules, on lit immédiatement les valeurs des intégrales des puissances de pu. On trouvera dans le Tableau (CXI) ces valeurs pour les premières puissances de pu.
41i. Mais, quand l'exposant de la puissance de pu est un peu élevé, il vaut mieux calculer les expressions directement, sans passer par la résolution des équations du premier degré.
On y parvient facilement en formant la dérivée seconde de p" u par rapport à u\ cette dérivée est
n(n — I ) p'^-2 II p'2 n j ji p'f-i u p" u
= 2n(2n-t-i)7"+>— ' ê'iy"'^- n(n — i)g3y'^-^;
S'ar''
on a donc
yn+l — .
2Ai(2/Z-t-l
dHy-) -in-i .„
) du^ 4(2AiH-l)«'-^
2(2/i-hl)
APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. Sg
et il est clair que cette formule permettra d'obtenir l'expression linéaire de jk""*"' au moyen de y et de ses dérivées, si l'on connaît de pareilles expressions pour jk'*"^^ ^«-i^ ^«^ Le calcul se fera simplement en supposant
-^ ~ '^ (2n— l)! rfa2«-2 •■^^r (2n — 2/- — I)! ^a2«-2'--2 ^••
- 3 ! du^
les coefficients B^"' étant des polynômes en g.>, g^. En substituant dans le second membre de l'équation précédente, on obtient la relation
'" '2 rt ( 2 /i -f- I ) '
+ ïiT^v> ""-"«•'+ .l^TTTT) "'■■- '^-
Dans cette formule on peut donner à r les valeurs o, i, 2, ..., /z + i, si l'on convient que les coefficients B|.'", dans lesquels l'indice inférieur est négatif ou est plus grand que l'indice supérieur, doivent être regardés comme nuls. Elle permet d'obtenir autant de termes B^"' que l'on veut. B'^^"' est égal à i, B'"' à o, pour tout entier positif 11.
41o. Si l'on veut fractionner encore les calculs, on constatera, sur les valeurs trouvées, que B^"' peut être mis sous la forme
/ . "a., aa 6 2 03'
OÙ les nombres entiers ao , a;,, positifs ou nuls, satisfont à la condition aa^-l- Sas ^ /'1 et où les coefficients purement numériques B^x'^'j;^ se déterminent par la relation récurrente
^a.as- 2/i(2/t-l-i) *^'«^
in 1 T>{,j t) , '^ t D(«-2)
Dans cette relation, on donnera à aj, as toutes les valeurs entières positives ou nulles qui vérifient la condition 2a2+ Saj^ aï + i.
6o CALCUL INTÉGRAL.
en regardant comme nuls les coefficients pour lesquels un indice inférieur est négatif ou pour lesquels la somme des deux indices inférieurs, respectivement multipliés par 2 et par 3, est plus grande que l'indice supérieur.
Cette relation de récurrence permet de calculer l'expression générale d'autant de coefficients B'^J^a ({^^^ 1'<>ïi veut; pour tout entier positif /i, B'^''^, est égal à i ; pour n plus grand que 2, 3, 4, 5, on a respectivement
416. Aux expressions qui donnent les dérivées p''"^ (u) au moyen de pu et de p' u^ il convient de joindre les expressions qui donnent, au moyen de pu, pa, p' u^ p' a, les dérivées p<"^(i^ — a), prises par rapport à u, de la fonction p{u — a).
La formule d'addition (VII3) peut s'écrire
^^ ^ ^ 'i (pu-pay
ou encore, en permutant les lettres u et a et en désignant par jv la fonction pu, parjj/'"^ sa dérivée n''^"^^ prise par rapport à u, et parc, c^"^ ce que deviennent j^j JK^"' qi^ia^d on y remplace u para,
Le second membre de cette formule peut s'écrire
où l'on a
On voit, par induction, qu'on doit avoir en général
A(«) ACrt) AUO
.{y — cy {y-cyi (y-
APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITIOX. . 6l
et la démonstration même fournit les formules de récurrence
AU+i) ^ 2(2v + i) B^^'2— I2CvB;'^\— c"(2v — i)B('"— c'2(v — i) Bi;% B^"+i'= -(v — i)A<,'i\,
qui s'appliquent pour v = o, i, 2, ..., /i-t-3, si l'on regarde comme nulles les quantités B dont l'indice inférieur est plus petit que 2 ou plus grand que l'indice supérieur augmenté de 2. Ces formules permettent de calculer les coefficients A^"^ et B^''' pour chacun des indices n.
