Les relations

I I Al"' Al")

que l'on déduit des précédentes et de celles qui en résultent par le changement de u en — m, donnent immédiatement, par intégration, les formules du Tableau (CXII), qui permettent de calculer facilement, pour un entier positif quelconque n, les valeurs

de l'intégrale

r du

Les calculs sont effectués pour les premières valeurs de n.

418. Quand a est égal à Wa, les relations précédentes se simplifient parce que c' est nul; on a alors

en supposant A',"' égal à Se^ r = (^a— ep)(ea— <?y)-

Dans le Tableau (CXII), le calcul des valeurs de l'intégrale

- est effectué pour les premières valeurs de n.

(pu — eoi)

IV. — Développements en séries entières des fonctions ^, sn,cn,dn. — Expressions linéaires des dérivées des fonctions ^, sn, en, dn au moyen des puissances de ces fonctions. — Expressions linéaires des puissances des fonctions ^, sn, en, dn au moyen des dérivées de ces fonctions.

419. Connaissant le développement de p u suivant les puissances ascendantes de u, il n'j a aucune difficulté à calculer autant de termes que l'on veut dans le développement des fonctions ioa^, ^ao'^7 ipr'^î <l*^*i sont des fonctions algébriques simples de pu; on n'a qu'à appliquer les propositions établies dans l'Introduction. Nous nous contenterons de donner quelques explications à propos de la fonction

v/ei — 63^03 ( , )

\\/ei — eJ

D'après la relation d'homogénéité (VIIT3), on a

Vei— es en posant, pour abréger,

Si = 7Z 7^2 ' ^3

en se reportant aux formules (XXXVIgji), (XXXYII,j2)) O" a d'ailleurs les relations

la relation entre les fonctions sn et p peut donc s'écrire

l/p(«; ^'2, ^3) — j^zr^^ l/p(«; s%. s\)-^ -

En utilisant le développement de pu et en tenant compte des

valeurs de^^, g'.^, on trouve

on n'a plus, pour trouver le développement cherché, qu'à appliquer la formule du binôme : on trouvera dans le Tableau (XCVJ) les premiers termes de ce développement.

Les polynômes en A- qui figurent dans le développement de snu comme coefficients des puissances de u sont réciproques; cette circonstance résulte de ce qu'il en est manifestement ainsi dans le développement de

à cause des valeurs de g'., et de ^'3. La considération de ce développement permet aussi de reconnaître aisément le degré de ces polynômes : le coefficient de w-"'^' est de degré n en k-.

420. Il va sans dire que l'on obtient de la même façon les développements de cnu et de dnw; on en trouvera les premiers termes dans le Tableau (XGVl). On peut aussi les déduire du développement de snu par les formules

en a = [i — sn^w]^, àna = [i — A^ sn^if]^ ;

enfin, on remarquera qu'il suffit d'avoir le développement de l'une des fonctions cnu, Anu pour avoir aisément le développement de l'autre, comme il résulte des formules de transformation relatives au cas 3" des Tableaux (LXXXs^e): où l'on peut supposer que le nombre c est un multiple de 4 et qui donnent alors

i) = dn(/^, a), dn(., ^.)=cn(|, /■

Les mêmes Tableaux donnent la relation

A sn V j

qui, jointe à ce que le coefficient de ?^-"+' est un polynôme en kde degré /i, met aussi en évidence la réciprocité de ce polynôme.

421. D'autres méthodes que nous allons indiquer sommairement permettent de retrouver ces résultats et quelques autres.

Les équations différentielles que vérifient les fonctions ^, sn, en, dn sont toutes de la forme

où a, 6, c sont, suivant les cas, des fonctions connues de Ci, 62, 63 ou de k'-', les conséquences qu'on peut tirer de ces équations sont toutes pareilles à celles que l'on a déduites de l'équation différentielle que vérifie pu, et les détails que nous avons donnés à ce sujet nous permettent d'être maintenant plus brefs.

Les dérivées d'ordre pair 2/1 de toute fonction y, qui vérifie une équation différentielle de la forme

{^fry=^y'^'y'^'

sont des polynômes en y, de degré 2/1+ i, ne contenant que les puissances impaires de y. On a, en effet, en posant

du-"-

et en admettant que Q^ soit un polynôme en y satisfaisant aux conditions énoncées, dont les dérivées par rapport à y sont Q)^ et QJ^, la relation

Si l'on pose

on trouve

A^«+i) == ir{ir-i)a A^-'l'i + (2/- + ifb A(.«>-f- (a/- + 2) (2 r -i- 3 ) c A^«', .

Cette égalité permet de calculer les quantités A^"' puisque l'on connaît A'j"= 2a, A'(," = &; r doit y prendre les valeurs o, i,

2, . . . , /i + I ; lorsque dans le second membre un indice inférieur est négatif ou plus grand que l'indice supérieur, la quantité A^"' correspondante est nulle.

On trouvera dans le Tableau (XCVIII) les résultats ainsi obtenus pour les premières valeurs de ;•.

422. Si l'on veut fractionner les calculs davantage, on observera, sur les premières valeurs calculées, que A^"' est un poljnome entier en a, b, c homogène, à coefficients entiers et positifs, de degré n si l'on regarde a, 6, c comme du premier degré, de degré n — r si Ton regarde a, 6, c comme étant respectivement des degrés o, I, 2; on peut donc poser, si cette loi est générale,

(a) A^.") = V A(.^^«'-+Y6«-'-2rcY,

les A|.'y étant des coefficients purement numériques ; r peut prendre les valeurs o, i, 2, . . ., /i; /- étant choisi, y doit prendre les va-

, . iy n — /' n — r — r

leurs o, I, 2, ... jusqu a ou , suivant que n — r

est pair ou impair. La généralité de la loi se démontre par induction et l'on parvient en même temps à la formule

A(.«+>) = ir{ir-i) Aj.'!^,,y 4- (2 r -+- 1)2 A)"^ + (ar + 2) (2 /• -1- 3 ) A^;!/,^.^i ;

;• ayant été choisi parmi les nombres o, i, 2, . . ., /i -f-i,

y doit prendre les valeurs depuis o jusqu'à ou ^ ~ ' ~-' ,

suivant que n — /est pair ou impair; d'ailleurs, dans le second membre, ceux des coefficients où le premier indice inférieur est plus grand que n, ceux où le second indice inférieur est plus grand

que sont nuls, ainsi que ceux dont un indice inférieur est

négatif. Tous les nombres Aj."| sont entiers et positifs.

Observons que la relation que nous venons d'établir donne, en particulier,

K?^x\\ = (2n + 0 (2« + 2) A(,",'„, Ai,« + i' = AS,«> ,

(f où l'on déduit sans peine

T. et M. - III. 5

Les calculs se font assez rapidement, et l'on observe avec un peu d'attention que l'on a (')