A("' ~ , AC

,,^, — 5-+-9.32«— 5.52«-+-72" . ,„) i4 — 28.32«-(-ao.5-"— 7.72«+92«

423. Si la fonction y est impaire et s'annule pour u == o, comme ioa(w) ou sn(;^), on a, dans le voisinage de u = o,

en désignant par j'„, j-^, jk^", ... les valeurs pour m = o des dérivées d'ordre impair; on a d'ailleurs

f/it^/i+i du ^"' du'

et il est clair que, pour u ^= o, Q)^ se réduit à A„" et -p à ^c; on peut donc écrire

par exemple, pour y = ioa("), on a a = {e^— e^) {e^— e^),

6 = 3<?a, c = i; pour j-= sn?^, on a a=zk^^b=: — {v-\-k-),

c = I ; on aura donc le développement de Çoa(^^) et celui de sn«.

Pour cptte dernière fonction, les quantités A^"' sont des polj-

(') Dans sa Thèse {Annales de l'École Normale supérieure, 2° série, t. VI, p. 265), M. D. André a montré que, quand on se donne arbitrairement /■ et y, les quantités A^"J sont des fonctions de n définies par la relation

^ = ;- + y ^iCy= 2 ^i\(n)(2f + i)-,

OÙ (S„in), ^,(/i), ..., ^,.{n) sont des polynômes en ra, de degré y, à coefficients rationnels, qu'il reste à calculer, tandis que pour chacun des indices t > r, 9i',(n) est un polynôme en n de degré y — t + r.

Ce résultat est déduit de recherches fort intéressantes qui ont permis à M. D. André d'établir l'équation génératrice 1res simple de la série récurrente dont Aj."v! est le terme général.

nomes en A-, de degré n en A-, comme il résulte évidemment de la formule (a), qui s'écrit alors

il est manifeste, sur cette formule, que ces polynômes sont réciproques.

424. Si y est une fonction paire et prenant pour u=o la valeur I, comme ipyW, en m, dn?^, on a, dans le voisinage de u = o.

{in)]

en désignant par Q,,Q2, ...,Q„, ... ce que deviennent, pour j- = I, les fonctions Q,, Qo, . . ., Q«, ... ; on a, en général,

« — -f^o -i- A\ ' -T-. . .-1- An ,

si l'on se place, par exemple, dans le cas de cn«, on trouve

A'/" = y (- l)''+YA5.^|Â:2('-+Y)(2^2 ,)«-r-2Y(, /.2)y.

Dans ce cas, les polynômes A^"' sont, en A-, de degré maximum égal à /i ; il en est de même de Q^ ; dans ce dernier polynôme, le terme indépendantde A-- esti; dans la somme A'(,'"+A'"'4-...-f-A^f', il n'y a, en effet, que l'élément A'"' qui contienne un terme indépendant de A"^, terme qui n'est autre chose que A„|J,. Dans ce même pol^'nome Qn, le terme en A-" fait défaut, cela tient à ce que l'on a ici « + 6 + c = o, 2a -{- b = — i ; en sorte que l'expression générale Q^ {ay'* -f- by- + c) + Q,', (2 «jk* + by) de Q«+i , quand on y remplace j^ par i, se réduit à — ■ Q)^, en désignant par Q^j ce que devient la dérivée de Qn prise par rapport à y après qu'on y a fait^=i; comme Q,i ne peut contenir A:^ qu'au degré n, il est clair qu'il en sera de même de Qw+i ; par suite, Q^ est un polynôme du degré n — i par rapport à A-.

42o. En résolvant par rapport aux puissances dey les expressions des dérivées d'ordre pair de la fonction y, on voit que les puis-

sances impaires âe y s'expriment linéairement en fonction de j^ et de ses dérivées d'ordre pair; jk'""*"' contiendra les dérivées jusqu'à l'ordre ^n; mais il est plus commode de calculer directement les expressions de ces puissances, qui sont utiles dans le calcul intégral; du même coup, on montrera que les puissances d'ordre pair s'expriment linéairement au moyen de y^ et de ses dérivées. On a, en effet,

n{n -H i) ayn+^ = Y ^^ — n'^by'^— n{n — i) cy"-"^,

et il est manifeste que si l'on a exprimé y'^ ely"~^^ en fonction linéaire àe y et de ses dérivées dans le cas oti n est impair, en fonction linéaire àey'^ et de ses dérivées dans le cas où n est pair, on obtiendra par celte formule une pareille expression pour y""^-.

426. Si l'on veut fractionner les calculs, on procédera comme il suit.

Pour le cas des puissances impaires, remplaçons dans l'égalité précédente n par in — i, et posons

('9nV a«r2«+i — B'"' — ^ -4- -4- B<'" -- -

b«'"jk;

on trouvera aisément la relation

B^.'»' = B(.«-»' — (2/1 — i;26B(/i-ii' - (2/1 - '2)2 (2/1 - 3) (2/1 — i) ac Bi.'i^2',

qui, jointe aux relations B|j"'=:i, By'=i, B*,"= — ^, permet de calculer facilement les quantités B^."'. L'indice /■ doit prendre les valeurs o, i, 2, ..., n; dans le second membre celles des quantités B^"' pour lesquelles l'indice inférieur est négatif, ou plus grand que l'indice supérieur, doivent être regardées comme nulles. Il est clair que B'J" est toujours égal à i ; les quantités B|."' sont des polynômes entiers en b et en ac à coefficients entiers. On trouvera dans le Tableau (CXIII) les expressions de ces polynômes, pour les premières valeurs de n.

A'jtFl. Si Ton veut fractionner le calcul davantage, on observera, sur les premières valeurs de ces polynômes, qu'ils sont homogènes et du degré /' en b et en «c, quand on regarde b comme du pre-

APPLICATIONS DE LA FORMULE DE DÉCOMPOSITION. Ot»

mier degré et ac comme du second. On est ainsi conduit à poser

les coefficients B^'Ç étant purement numériques.

L'indice /'étant choisi parmi les nombres o, 1,2, ...,/i, l'indice y

doit prendre les valeurs o, i, 2, . .., - ou • > selon que /' est

pair ou impair. La généralité de cette supposition apparaît immédiatement et l'on trouve du même coup la relation

Bj»! = B;.'^-" — (an — 1)2 B'.'LlJ^ (2« — 2)2 (an — 3) (2/1 — i) B^.'i-2fj,.

Pour ce qui concerne snw, on reconnaît immédiatement que les polynômes B|,"\ regardés comme des fonctions de A-, sont réciproques.

1428. On observera que, si dans l'équation (^)'=^->''-^^-^'-^^' on remplace y par -> elle prend la forme

dz\''- , -,

— - = cz*-i- DZ--+- a;

1 en déduira, puisque les polynômes B^"' ne changent pas quand on échange les lettres a et c,

"■ ' -^ » duia ' du^'^ -

La même méthode s'applique aux puissances paires dey; leurs expressions s'obtiendront en partant de la relation du n" 425 où l'on remplace n par 2/1.

On trouvera dans les Tableaux (GXIII) et (CXIV) les expres-

>ns des intégrales

j ytn+idu et /y2«

du s

(h'duites des relations précédentes et permettant de calculer successivement ces intégrales pour les premières valeurs de 11.

V. — Application de la transformation de Landen au développement en série entière de la fonction en.

429. On peut, comme l'a montré M. Hermite ('), obtenir, par une voie tout autre que celle que nous avons suivie, les coefficients des puissances de u- dans le développement de la fonction cnu.

On sait déjà, par ce qui précède, que dans ce développement le

coefficient cn^-"^(o) de - — -., ordonné suivant les puissances crois-

santés de A-, est de la forme

cn(2«) (o ) = ( — 1)« [i-H A(«' A-2 + A(«' A-* + . . . + A'fjj Â:2«-2],

où A'"', A'/", . . . , h.\'p^ sont des quantités purement numériques, qu'il s'agit de calculer.

La formule de transformation de Landen (LXXXIIg)

en M,

va nous permettre d'effectuer ce calcul pour chaque indice n. Cette formule est une identité par rapport à u et par rapport à •:.

Si l'on clianofe T en r^, en donnant à a. b, c, d des valeurs

rentrant dans le cas 3° du Tableau (XXq) et pour lesquelles k se

change en -- et k' en dz ~ (LXXX5), elle devient

V'' kzt'i/c'J - '

k di

où les signes supérieurs se correspondent. Le second membre se transforme par les formules du Tableau (LXXXe), écrites dans

( ' ) Voir Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. LVII, p. 6i3 et p. 993.

ce même cas 3"" pour c = o, en

.-a±ik')/.sn^{j^,.,k)

— l/^ On a ainsi

kz^ik'-] kz^zik'-ksn^u.k)

;VA')cn Uk±ik') u, |^^1

cn{u,k) '

on déduit de ces deux relations, par addition, en posant aussi

A' d= ik' = e±'«, J'idenlité en u et a

e-'s'cnfe'^i/, e--'^) -+- e'^ cn(e-'^u, e^-'^) = î cosa cn(u, cosa).

Il suffît de développer chacune des fonctions

cn('e±'3'?(, e-2ia)^ en (m, cosa)

par la formule de Maclaurin el d'égaler les coefficients des mêmes puissances de u dans les deux membres, pour obtenir entre les nombres A^"' et a la relation

cos[(2rt — r)a] + A^'!i, cos[(2n — 3) a] + A'i"''cos[(?.n — 5) a]

-+- A',fJ2 cos [( 'in — 7 ) a] -H ... = cos a + A'j"' cos' a -f- A'^'^cos^a-i-. . .4- AifiiC0s2«-ix;

les deux derniers termes du premier membre sont

Aj,"^i cos3a -H A|,'L'i cosa, quand n est impair;

A^'^2COs3a + A^"' cosa, quand /i est pair.

On transforme aisément le second membre en une fonction linéaire des cosinus des multiples impairs de a. En égalant ensuite les coefficients des cosinus des mêmes multiples de a, on obtient les relations cherchées; on a d'abord A\"^^ = x, puis successivement,

en désignant par ( . ) le coefficient binomial

Ai"i, /2/i-3'

A(rt)

Ar 7

où l'on doit remplacer Ay"' par i et où, pour n impair, on doit

remplacer 1 indice [jl par — ; — :. 1 indice v par , tandis que,

pour n pair, on doit remplacer l'indice [J. par — — - et l'indice v par -• De simples résolutions d'équations du premier degré donnent ainsi directement, pour chaque indice n, les valeurs des constantes A'"', A!,"', . . . , Aj/i',, et il importe de remarquer, pour les calculs numériques, que l'on a un procédé de vérification de ces calculs puisque l'on a n équations et ai — i inconnues seulement. Comme on l'a fait observer au n° 420, le développement de la fonction dn(«) se déduit immédiatement de celui de la fonction

en (m). La relation

sn'(a) = cn{u) dr){u)

permet ensuite d'obtenir aisément le développement de la dérivée de la fonction sn(M), et, par suite, celui de la fonction sn(u) ellemême.

La méthode de M. Hermite ne fournit pas seulement un nouveau procédé pour dresser assez facilement le Tableau (XGVI); elle permet d'obtenir aussi la loi de formation des coefficients des polynômes cn^2«;^Q^ ordonnés suivant les puissances de k-.

VI. — Application aux fonctions de Jacobi de la méthode de décomposition en éléments simples.

430. Quand on veut appliquer directement aux fonctions de Jacobi la méthode de décomposition en éléments simples, ce qui permet de retrouver les relations essentielles entre ces fonctions, il convient d'introduire, comme élément simple pour celles de ces fonctions qui sont doublement périodiques de première espèce dans le parallélogramme des périodes o, 2K, 2(K-f- f'K'), 2iR', la fonction impaire 'Zj(u) définie au n"316; elle admet, comme pôle unique et simple dans le parallélogramme, le point iK.'] son résidu relatif à ce pôle est i ; elle s'annule pour u=z o el u = K et jouit des propriétés mises en évidence parles formules (LXXIX2 3) qui montrent clairement comment elle peut jouer un rôle analogue à la fonction ^u, en sorte que toute fonction doublement périodique de première espèce dans le parallélogramme considéré est, à une constante additive près, une fonction linéaire de quantités telles que Z(ii — a), X(u — b) et de leurs dérivées; les constantes a, b, ... n'étant autres que les affîxes des pôles de la fonction considérée, diminuées de i¥J .

,,,,.,.,,. If.- H'(i<) ii\(u) e\(u)

Jl est a peine besom de dn-e crue les fonctions .,, ,? ,,', ,■> —- — peuvent jouer le rôle que nous venons d'attribuer à la fonction Z(«).

431. Quand on se sert comme élément simple de la fonction 7j(u), il est souvent commode, surtout pour la détermination de la constante additive, d'avoir les premiers termes du développement de cette fonction en série entière. On les obtient aisément au moyen des formules (CII4) en utilisant le développement de snu. On trouve ainsi

(CII7) Z(«) = Z'(o)"-2Â-2-^^ + 8A-2(A-^-M)||-....

432. De même que l'on substitue aux quantités w,, W3 les quantités K et K' introduites par Legendre, on remplace, dans le même système de notations, les quantités tj,, 713 par les quantités E, E'

']t\ CALCUL INTÉGRAL.

que définissent les égalités

/^,^ l±i! ^Jli__ , ^ (Cil) , via

\ ( \ ' + ^ ' Vi3 ^ E '

On remarquera (n° 406) que le premier membre de l'égalité (i) est égal à Z'(o).

L^'ntroduction de ces notations permet d'écrire la relation (Gïle )

sous la forme

An^ii =r — -t- Z'{u).

On en déduit immédiatement, en se rappelant que Z(o) et Z((R) sont nuls, la formule

(GUg) f dn^(u,k)du = E,

où l'intégrale qui figure dans le premier membre est prise suivant le segment de droite qui va de o au point K. Si maintenant on fait la transformation

ûj = 0)3, £23= Wi,

qui, ainsi qu'il résulte des formules (LXKX3 5), donne

/ = A', r =k, L = K', L' = K, v/jii — 1^3 = — f \/ei — e, et

H,= r(Ûi) = r(co3) = r,3, notre dernière formule deviendra

(GII9) f dn2(M, k')du = E',

où l'intégrale qui figure dans le premier membre est prise suivant le segment de droite qui va de o au point K'.

Observons que la relation r^ Wg — visWi = — peut s'écrire

^.1 TQs TC .

K v/ei — e-i iVJ^e