CHAPITRE III
433. Considérons une fonction doublement périodique (' ) du second ordre F(u) aux périodes 2w,, 2W3 et supposons d'abord que ses deux pôles a, b soient distincts; a, b seront aussi les pôles de la fonction doublement périodique du second ordre F{u) — F(mo)| comme «0 est un zéro de cette fonction, son second zéro sera a -\- b — Uq et Ton aura F(a-\- b — Uq) — F(mo) = o; comme Uq est quelconque, la fonction F(u) prend donc les mêmes valeurs pour deux valeurs de a dont la somme est
a + b. On peut dire encore que la fonction F f
paire; les pôles de cette dernière fonction sont dz ; ils sont
distincts des points o, w,, 0)2, tO;,. La dérivée F'i — ^ h u\ de
cette même fonction est impaire et n'admet pas de pôles distincts
des pôles de la fonction ¥( — ^ h ii); étant impaire et étantfinie
pour u = o, elle est nulle pour cette valeur; elle est nulle aussi pour «^ = oi^: en effet, les deux quantités finies F'|
F' ( lûa) doivent être égales et de signes contraires puisque
la fonction F'( (- «) est impaire, et égales puisque 2t0a est
une période de la fonction F'{u). Ainsi les quatre zéros, évidemment simples, de la fonction du quatrième ordre F'(w), sont
, — -HtOj, h 0)2, h W3.
(') Dans tout ce Chapitre il ne sera question que de fonctions doublement périodiques ordinaires.
La fonction doublement périodique *(„,= [FU)-F(:i±^)][F(,„-F(^-..„)]
est du huitième ordre; ses zéros sont en évidence; chacun est double, puisque la dérivée de chaque facteur s'annule pour le zéro correspondant; elle admet les mêmes zéros, au même degré de multiplicité que la fonction F''^(u); elle admet aussi les mêmes pôles, au même degré de multiplicité; le rapport des deux fonctions ^(u), ¥''■^(11) est donc une fonction doublement périodique qui n'admet pas de pôles : c'est une constante; par conséquent :
Toute /onction doublement périodique y de la variable u, du second ordre, à pôles distincts, vérifie une équation différentielle de la forme
oh M, A, B, C, D sont des constantes.
Soit maintenant^ =/(«) une fonction doublement périodique du second ordre admettant le pôle double a. On reconnaît, comme précédemment, que la fonction /(a + w) est paire et que son pôle est distinct des points w,, coo, (03; puis, que la fonction du troisième ordre/'(;^) n'admet pas d'autres zéros que les points a+to,, a-h to.j, rt + W3 ; par conséquent :
Toute fonction doublement périodique y de la variable u, du second ordre, à pâle double, vérifie une équation différentielle de la forme
OLi M, A, B, C sont des constantes.
Telle est, par exemple, la fonction pu. Il résulte de là que les dérivées d'ordre pair d'une fonction doublement périodique du second ordre y sont des fonctions rationnelles entières de j', et que les dérivées d'ordre impair sont égales au produit de/' par
une fonction rationnelle entière dey. Nous allons généraliser ce théorème.
iSi. Soit '-^{u) une fonction doublement périodique du second ordre, dont les périodes soient ato,, 20)3 et dont les pôles soient rt, b. Toute fonction doublement périodique ^{u), admettant les mêmes périodes c[ue 'f{ii), et telle que l'on ait $ [a-{-b — u) ^=^{ii), s'exprime rationnellement au mojen de ^(w)- Le cas où la fonction '^{u) admettrait un pôle double a^^b n'est pas exclu.
Le théorème sera démontré si l'on prouve que la fonction
-^ — ^j. où A et B désignent des constantes, s'exprime rationnellement au moyen de '•^{u)', or on peut toujours déterminer les constantes A et B de manière que la fonction —7 — l — ~ , qui jouit
des mêmes propriétés que la fonction <!>(«) et dont les pôles et les zéros sont respectivement les solutions des équations ^{u) — B = o, <E>(m) — A=o, n'ait aucun pôle ou aucun zéro qui coïncide soit
avec a, soit avec b, soit avec ; nous pouvons donc taire immédiatement cette hypothèse sur la fonction $(«)•
Dès lors, si a est un zéro ou un pôle de cette fonction, a-f- b — a sera un zéro ou un pôle, distinct de a, du même ordre de multiplicité; la fonction ^(u) aura un nombre pair de zéros et de pôles ; elle sera d'ordre pair 2/1, et l'on pourra représenter /i de ses pôles para, , 7.0, . . ., a,j, les autres pôles étant a-\-b — a,, a-\-b — ao,..., a -\- b — (3.,i\ de même, on représentera /i de ses zéros par ^,, j^a, ..., [3«, les autres étant a + Z>— ^,,«4-^ — [32,...,a+6 — |3«. Si maintenant l'on considère la fonction doublement périodique
^(,,^ ^ [c?(»)-'p(Pi)][T(^0-yrp.2)1...[y(^)-cp(^„)]^
[(p(«)-o(ai)J[tp(«; — ?(a2 )].•.[?(«) — ?(««)]'
on reconnaît qu'elle admet les mêmes zéros et les mêmes pôles que la fonction $(«) au même degré de multiplicité; elle lui est donc identique à un facteur constant près, et la proposition est démontrée.
Notons, en passant, cette façon très remarquable de représenter une fonction doublement périodique telle que ^(?^), de manière à mettre en évidence ses pôles et ses zéros. Le cas où $(f/) et
'f{ii) sont des fonctions paires est parliculièrement digne d'attention.
Les formules (LXXXVII.i.e), (LXXXIX,6), (CX,c), ainsi que les formules analogues que l'on peut établir pour les fonctions l, et dont l'une a été obtenue au n" 337, peuvent être regardées comme des exemples.
435. Soitçp(M) une fonction doublement périodique du second ordre. Toute fonction doublement périodique ^{u), ayant les mêmes périodes que »(w), s'exprime rationnellement au moyen de 'f («) et de sa dérivée 'f'(u). Soient, en effet, «, b les deux pôles de <f (w), les deux fonctions doublement périodiques
jouissent évidemment des propriétés qu'expriment les équations
f{ii)^f{a^b-u), f,(u)=/,(a-^b~u); ce sont donc des fonctions rationnelles de «p(«); on a d'ailleurs
<ï>(«) = ^/(»)-^/i(«)cf'(a),
et la proposition est démontrée.
En particulier, si l'on prend pour 'f («) une fonction paire, on voit que toute fonction doublement périodique paire ^(«), ayant mêmes périodes que 'f{u), s'exprime rationnellement au moyen de 'f (m) seulement.
436. D'après la dernière des propositions que nous venons d'établir, toute fonction doublement périodique aux périodes 2(0,, 2W3 est une fonction rationnelle de pu, p' u.
11 importe d'observer que cette dernière conséquence résulte très simplement de la formule de décomposition en éléments simples. Soit, en effet, /(?/) la fonction doublement périodique considérée, dont nous désignerons pour un moment les pôles distincts par ai, l'ordre du pôle ai étant a,. Si, dans la formule
8o CALCUL INTÉGRAL.
op remplace ^(u — cii) et ses dérivées par JIw — Ça/ + - P " ~ P ^i ^ ' ^ ^ pii — pat
et les dérivées de cette quantité, qui sont des fonctions rationnelles de pu et de p' ii, puisque toutes les dérivées de pu sont des fonctions entières de pu et de p' u, on voit de suite que /(m) s'exprime aussi rationnellement au moyen des mêmes quantités; en effet, après la substitution, le coefficient de ^u est SA^", qui est nul. La proposition annoncée est établie.
Il résulte de ce raisonnement et des expressions des dérivées de pu au moyeu des puissances de pu que, si la fonction doublement périodique n'admet dans le parallélogramme des périodes que le pôle zéro, lequel est nécessairement multiple, elle est une fonction entière de pu et de p' u. On reconnaîtra sans peine que si ce pôle unique est d'ordre /z, ainsi que la fonction doublement périodique f{u)^ celle-ci se mettra sous la forme A + Bjj'if, A étant
un polynôme en pu dont le degré sera égal à ^* quand n est pair, plus petit que - quand n est impair, et B un polynôme en pu
dont le degré sera égal à quand n est impair, plus petit que
— — quand n est pair.
437. Dans le cas général, en procédant comme on l'a expliqué, f{u) se met sous la forme
A -4- Bp'?/ j3 '
A, B, D étant des polynômes en pu. On parvient à cette même forme par un procédé un peu différent qui va nous fournir sur les polynômes A, B, D quelques renseignements utiles.
Nous nous bornerons, pour simplifier, au cas où la fonction/(;/) n'a point de pôle ou de zéro qui soit nul; s'il en est autrement, le lecteur verra sans peine les petites modifications qu'il convient d'apporter à l'analyse suivante.
En supposant que la fonction /(?/.) soit d'ordre n, on peut la mettre sous la forme (n° 391)
•^^"^ - ^ a'(i.-aOtf(u-a,)-..^(«-««)' 2à "' = 2à ^"^
SUITE DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. - 8l
OÙ C désigne une constante. On ne suppose pas que les nombres r/,, a,-, ..., (i/i soient distincts, non plus que les nombres bi, b>, ...j b/i] mais les premiers nombres sont nécessairement tous différents des seconds. On a alors, en tenant compte de l'égalité (VII,),
en posant
D = (pu — pai)(pu — pai)...(pu—pan),
F (m) est une fonction doublement périodique d'ordre in, n'admettant dans le parallélogramme des périodes que le pôle o; cette fonction F(?^) est donc de la forme A-j-Bjd'm, où A et B sont des polynômes en jdw, dont le premier est de degré n et le second au plus de degré n — 2.
438. Observons que le produit F(«) F( — «), toujours à cause de l'égalité (VII,), est égal à
\z!ai'.'.^aj '^y - P^i)- • -^y — V<^>i) ( y — Pbi). . .{y — pb„) ,
ou
y remplace pu] on aura donc f:^b,...:fb
(J'ai .. .:^an
y^{y~pb,){y-pb,)...{y-pb,).
Il résulte de là que le polynôme A- — B-(4jK^ — g2y — ^3) est divisible par D et que le quotient, qui n'est autre chose, à un facteur constant près, que [y — pb\) [y — p^a). . .(jK — pb/i), est premier à D.
Les fonctions jK = pu et z =f(u) = n^~» ^ cause de la
relation p'- u = 4jK' — o'^X — 0^3' ^^^^ liées par la relation
(D^ - A)2 = BH^y^- g,y-g^) ou
T. et M. - III. 6
D'après ce que l'on vient de dire, cette relation est entière; elle est du second degré en :;, du n'^"™^ degré en y\ enfin, le premier membre n'est pas divisible par un poljnome qui contienne y seulement. Cette conclusion subsisterait dans le cas où la fonction f{u) admettrait quelque pôle ou quelque zéro qui serait nul.
On observera encore que le premier membre de cette équation ne peut être décomposé en un produit de deux polynômes entiers en jK, ^, sauf dans le cas où B serait identiquement nul, c'està-dire où z serait une fonction paire. En effet, il n'est pas divisible par un polynôme contenant^ seulement; il n'est pas divisible par un polynôme du second degré en ^, sans quoi le quotient serait un polynôme en y seulement; il reste à supposer l'existence d'un diviseur du premier degré en z; dans ce cas, les deux racines de l'équation en z seraient rationnelles en y, ce qui n'est possible que si ^^[^y^ — g^y — ^3) est un carré parfait; or cela n'a lieu que si B est identiquement nul. Ainsi, sauf dans le cas où B est nul, le premier membre de l'équation considérée n'est pas le produit de deux polynômes entiers en y et z] il en résulte en particulier que le discriminant de cette équation, considérée comme une équation eny^ n'est pas identiquement nul et que cette équation a ses II racines distinctes, sauf pour des valeurs particulières de z^ en nombre limité.
439. Dans leur belle Théorie des fonctions elliptiques, Briot et Bouquet sont allés plus loin dans la voie ouverte par Liouville et ont établi quelques nouveaux théorèmes parmi lesquels le suivant, qui est fondamental.
Entre deux fonctions doublement périodiques, admettant les deux périodes 2(0,, 20)3, il existe une relation algébrique.
En effet, si l'on pose
r = p(«|wi,a>3), y = p'(m| 0),, W3)
et si l'on désigne par ^ et ^ les deux fonctions de u considérées, on pourra les mettre sous la forme
A-t-Bj' ^ X -f- ifb y
en désignant par A, B, D, X, iib, (D des polynômes en y. En éliminant jk eiy entre ces relations et la relation
on obtiendra une relation
qui devra être vérifiée quel que soit u.
440. Inversement, si l'on considère un système de valeurs en z, t qui vérifient cette équation, il existera un système de valeurs y^y c^m vérifieront les trois équations (a), {^)-^ d'ailleurs, à un système de valeurs j-,jk' qui vérifient l'équation (j3), correspond, dans le parallélogramme des périodes, une valeur de u qui fait acquérir à pu, p' u les valeurs jk, y'] par suite, tout système de valeurs de z, t qui satisfont à l'équation (y) peut être considéré comme un système de valeurs des fonctions z, t qui correspondent à une même valeur de u.
K{z, t) est un polynôme en z, t. Il peut être divisible par un polynôme en z, dont les racines correspondent aux valeurs de u, qui annulent simultanément X-{-^i\)y' el (D ; il peut de même être divisible par un polynôme en t. Supposons, d'une façon générale, que l'on ait
0(5) et '^(t) désignant respectivement des polynômes qui contiennent, l'un la variable z seulement, l'autre seulement la variable t, et g,(z,t), Ç^i^ft): •••' désignant des polynômes irréductibles contenant les deux variables z, t; en disant que ces polynômes sont irréductibles, nous entendons que l'un quelconque d'entre eux n'est pas le produit de deux polynômes.
Quand on regarde dans l'identité précédente ^ et ^ comme les fonctions données de u, le premier membre est identiquement nul; le second membre est un produit de facteurs dont chacun est une fonction analytique de u; l'un de ces facteurs est donc identiquement nul; en effet, le produit de deux fonctions analytiques dont aucune n'est identiquement nulle n'est pas lui-même identiquement nul, comme on le voit de suite en se reportant à la
règle de la multiplication de deux séries entières. Or il est clair que les fonctions cp(5), 'j'(^), regardées comme fonctions de u, ne peuvent pas être identiquement nulles puisque, dans le parallélogramme des périodes, elles ne s'annulent que pour im nombre fini de valeurs de u\ c'est donc un des polynômes (j\ (5, t), Q^i^^t)^ ..., qui s'annule identiquement quand on y regarde z el t comme les l'onctious données de u; nous le désignerons par (j'(^, t).
Nous allons montrer que tous les polynômes Cj", {z, t), CJ2 (5, t), ..., considérés comme des fonctions de z, t, sont identiques à Ç{z, t). Considérons, en effet, un système de valeurs z^, t^ qui annulent, par exemple, le polynôme ^((s, t); R(^o? ^0) est nul; donc, d'après ce que l'on a dit au début, il existe une valeur Uq de u qui fait acquérir les valeurs Zo, t^ aux fonctions z^ t\ puisque la fonction ({"(z, t) s'annule identiquement quand on y regarde s et ^ comme les fonctions données de u, il faut que Ç{zq, t^) soit nul; ainsi, toutes les solutions de l'équation (j*, [z, t) = o vérifient l'équation Ç{z, t) = o. Puisque les deux polynômes Ç, (^, t), Ç{z, t) sonf, irréductibles, il faut qu'ils soient identiques à un facteur constant près. Le même raisonnement s'appliquant aux polynômes (j2(s, t), . . . , il est clair que l'on pourra poser
R{z,t)=o{z)'!^it)[CJ(z,t)]\
OÙ V est un nombre entier, et l'équation Ç{z., t) = o jouit des propriétés suivantes que nous rappelons : elle est irréductible; elle est vérifiée pour tout système de valeurs des fonctions z, t qui correspondent à une même valeur de ii] si l'on considère un système de valeurs ^oi ^0 q"i la vérifient, il existe une valeur Uq de u qui fait acquérir les valeurs Zq, t^ aux fonctions z, t.
441. Désignons par m, n les ordres respectifs des fonctions doublement périodiques 5, t.
L'équation ^(^5 ^) z= o, considérée soit comme une équation en z, soit comme une équation en t, n'a de racines égales que pour un nombre fini de valeurs de t, ou un nombre fini de valeurs de z, puisqu'elle est irréductible. Considérons-la, par exemple, comme une équation en f, en donnant à z une valeur z,, pour laquelle l'équation (j'(^, , ^) = o n'ait pas de racines égales et qui, en outre, soit distincte des valeurs que prend la fonction ;: quand on y rem-
place u par l'une des valeurs qui annulent -^- Il j aura alors, dans le parallélogramme des périodes, m valeurs distinctes de u qui feront acquérir à 5 la valeur 2, ; désignons-les par m,, u^^ . . ., u^, et désignons par ^,, ^25 •••1 ^w les valeurs correspondantes de t; ces dernières valeurs vérifieront l'équation ()(si, <) = o; aucune autre valeur de t ne vérifiera cette équation dont aucune racine n'est double et dont, par conséquent, le degré en t sera exactement égal au nombre des quantités tt, t2, . . ., tm qui seront distinctes. En particulier, si toutes ces quantités sont égales, t sera une fonction rationnelle de z. Un raisonnement analogue s'applique au degré en ;; du polynôme Ç{z^ t).
442. Supposons, en particulier, que t soit la dérivée 5' = — de la fonction z : on voit tout d'abord quily a une relation algébrique entre une fonction doublement périodique et sa dérivée. Cette dernière proposition, que l'on connaissait avant le ihéorème général, est due à M. Méray.
Il est aisé de voir que cette relation
est, en z' , de degré m égal à l'ordre de la fonction z. Nous montrerons pour cela que, si deux valeurs incongrues de u font acquérir à 5 la même valeur, elles feront acquérir à z' des valeurs différentes. Cela résulte, ainsi que l'a fait remarquer M. Weierstrass, de ce que les égalités
dz dz dz^ dz dz dz ^ dz
déterminent sans ambiguïté les dérivées successives z", z'", ... en
fonction de 2, z', pourvu toutefois que la dérivée partielle ^ ne
soit pas nulle. Si donc deux valeurs Ui, u-x faisaient acquérir une même valeur à la fonction z d'une part, à la fonction z' de l'autre, elles feraient acquérir la même valeur à-s", à 2'", — En désignant pour un instant par/(w) la fonction z, on voit que les deux développements de Taylor des deux fonctions de h, f{ut-{- h) et /(w2 + /i), seraient identiques; par suite, puisqu'il s'agit de fonc-
86 CALCUL LMÉGRAL.
lions analytiques, ces deux fonctions seraient égales pour toute valeur de A, et, en remplaçant h par u — î^,, on aurait donc, pour toute valeur de u^ f{u-\-U2 — Us) =/(u), ce qui exige que M2 — Uf soit une période; en d'autres termes, que les points Ut, u^ soient congruents, contrairement à l'hypothèse.
L'équation §{z, z') = o est donc de la forme
Zoz'"t -f- Zi 2'"^-i -t-. . . -f- Z,n = o,
où Zo, z,, . . ., Xm sont des polynômes en z; le premier est une constante, puisque, pour toute valeur finie de z, la fonction z' (dont les pôles ne sont pas distincts de ceux de ^) a une valeur finie ; de
plus, Z^, est identiquement nul; en effet -^~' est, au signe près,
la somme des inverses des valeurs de z' qui correspondent à une valeur donnée de z. Désignons par ?/,, m.,, •••? lim les valeurs de u qui correspondent à la valeur z; m,, Wg, . • ., Um pourront ôtre regardés comme des fonctions de z, et la règle de dérivation relative aux fonctions inverses montre que l'on a
Z;„i dui du2 du,n ^
Z„j dz dz " ' dz '
puisque la somme w, H- ^0 + . . .+ Um est constante, on voit que le polynôme Z„j, doit être identiquement nul (').
443. Le théorème du n° 439 admet la réciproque suivante (2) :
Si les deux fonctions doublement périodiques F(?^), ^(i^), admettant respectivement les périodes 210,, 2(03, ato', , 21O3, sont liées par une relation algébrique, les quatre périodes se réduisent à deux, c^ est-à-dire qu'elles sont des fonctions linéaires à coefficients entiers de deux périodes.
Soit, en effet,
la relation algébrique entre F(i/) et $(m); on en conclut, en po-
(•) Briot et Bouquet, Fonctions doublement périodiques, i" édit., p. 90. O Voyez Jordan, Cours d'Analyse à l'École Polytechnique, 2* édit., t. II, p. 344.
sant 0 = 2[ji.cl)', + 2701)3+ a/iw,, où [x, v, n sont des entiers, que l'on a
comme on le voit immédiatement en changeant d'abord, dans (a), a en u -f- anw,, ce qui n'altère pas F(m), puis dans $(;/-h2/iW4) seulement, u en u + 2p.to',+ avco'g, ce qui n'altère pas *(«).
D'ailleurs, on a vu (') que, si les trois nombres 2w,, 2w'^, 20)3 ne sont pas des fonctions linéaires à coefficients entiers de deux nombres, on peut choisir les entiers [jl, v, n de façon à rendre 5 aussi petit qu'on le veut, en valeur absolue. Il en résulte, puisque R[F(i<), <b{u-{- 8)] est développable en série entière suivant les puissances de o, que cette quantité, regardée comme fonction de 5, est identiquement nulle; si l'on pose ?/ + ô = ^^', l'égalité
R[F(«), *(ti')] = o
sera vérifiée, quels que soient u et u' , et, par conséquent, quels que soient F(w) et $(?/); tous les coefficients du polynôme en F, 4> qui figure au premier membre seraient nuls.
444. Revenons au cas général et reprenons les notations du n° 439; si les deux poljnomes B et ^S^ étaient identiquement nuls, z el t seraient des fonctions rationnelles de y et l'on formerait sans peine l'équation entre z et t, en éliminant y. Supposons que le polynôme B ne soit pas identiquement nul, on pourra procéder comme il suit :
De la première équation (a), on tire y et, en portant dans l'équation ([S), on trouve, comme on l'a vu au n° 438,
A2 B2(4r3— £-, r — ^-i) (O Dz^-ikz^- iy ^^=o;
cette équation est entière en z et y, du second degré en 5, du ^ième (Jegré en y et elle est irréductible. Des deux équations (a) on tire, en éliminant y'^ , , ciUB — Aift)-f-all>Dz
le second membre est une fonction rationnelle en y. Si, entre les équations (^) et ['t\) on élimine y, on formera une équation
de degré m en t\ les m racines de cette équation, quand on donne à z une valeur particulière, sont les m valeurs que prend la fraction, rationnelle en y, qui forme le second membre de l'équation (rj), lorsqu'on j remplace jK par les m racines de l'équation (J^) envisagée comme une équation en y.
Ceci posé, supposons que l'équation (en t) Q(2, t) = o n'admette de racines multiples que pour des valeurs particulières de z, et soit Uq une valeur de u qui fasse acquérir à la fonction z une valeur ^0 distincte de ces valeurs particulières; soient ^q, jKo ^^s valeurs des fonctions i, y pour u = Uq. L'équation Q(^o) ^) = o admet la racine simple ^ = f „ ; d'après la théorie de l'élimination, le? deux équations en y, (^) et (t]), dans lesquelles on remplace z et t par^o et t^, n'admettent donc qu'une racine commune, et cette racine commune est nécessairement jKq; cette racine commune unique s'obtient par des opérations rationnelles ; ainsi jKq s'exprime rationnellement en to, u^; le raisonnement s'appliquant à toutes les valeurs de u, sauf un nombre fini de valeurs exceptionnelles dans le parsUélogramme des périodes, on voit que y = pu est une fonction wâtionnelle de ^ et de ï; il en est de même de
, Dz — A
d'ailleurs toute fonction doublement périodique s'exprime rationnellement au moyen de y, y' ; donc ( ' ) :
Si z et t sont deux fonctions doublement périodiques, aux périodes ato,, 20)3, si z étant d'ordre m, les m valeurs de t qui correspondent à une valeur donnée de z sont en général distinctes, toute fonction doublement périodique, aux périodes 2(0,, 2CO3, s'exprime rationnellement au moyen de z et t.
(') Cette proposition est contenue comme cas particulier dans un théorème de M. Weierstrass relatif aux fonctions 2 r fois périodiques de r variables {Crelle, t. 89; Œuvres, t. II, p. 182).
415. Ce théorème s'applique en particulier au cas où t est la dérivée de z (n° 442). Ainsi, toute fonction doublement périodique est une fonction rationnelle d'une fonction doublement périodique arbitraire, admettant les mêmes périodes, et de sa dérivée. Cette dernière proposition, qui est une généralisation du théorème de Liouville du n° 435, est due à Briot et Bouquet.
Si F(w) est une fonction doublement périodique à'périodes 2(1),, 2W3, il en sera de même de la fonction ¥{u-\-v) regardée comme une fonction de u] la fonction F (a + ç») est donc une fonction rationnelle de F(m)^ F'(m); il est à peu près évident que les coefficients de cette équation sont des fonctions rationnelles de F(p), F'((^), dont les coefficients ne dépendent ni de u ni de v. Au reste, il ne subsistera aucun doute dans l'esprit du lecteur s'il remarque que 'F{u-{-v) peut s'exprimer rationnellement au moyen àe p{u-\-v), p'{u-i- v) par exemple; que, en vertu des formules d'addition (VII3), ces quantités s'expriment rationnellement au moyen de pu, pç, p' u, p'p, et qu'enfin pu, p' u s'expriment rationnellement en fonction de F(i^), F'(m); tandis que pt^, p' v s'expriment rationnellement en fonction de F(p), F'(t'), d'après le théorème précédent. Ainsi ¥{u-\-v) s'exprime rationnellement au moyen de F(w), F(f), F'(i^), F'(p).
En prenant la dérivée de cette fonction rationnelle par rapport à u et en tenant compte de ce que la fonction doublement périodique ¥"(^u) s'exprime elle-même rationnellement au moyen de ¥[u)^Y'[u), on déduit du théorème précédent que la fonction F'(M-f- v) est elle aussi une fonction rationnelle de F(u), F'(w), F(p), F'(p). Il en est de même des dérivées de tous les ordres de la fonction F(m -f- v). Les mêmes résultats s'appliquent d'ailleurs à la fonction ¥{u-\-v-\-c), onc désigne une constante quelconque, puisque ¥{u-\-v-[-c) est une fonction rationnelle àe¥{u-\- v) et de ¥'{u + v).
446. Si x=:¥{u) est du second ordre, sa dérivée ¥' {u) est égale (n" 433) à la racine carrée d'un polynôme /(a:) du troisième ou du quatrième degré; si l'on pose en o\x\xe y =z¥ {v)^ z = ¥{w)^ on en conclut que, si w, f, w sont liées par la relation
go CALCUL INTÉGRAL.
OÙ c est une constante quelconque, z et \/f{z) s'expriment rationnellement en fonction de x, y//(:r), y, \/f{y)- C'est encore lin cas particulier du célèbre théorème d'Abel ('); il se réduit, pour u =z o^ à une proposition due à Euler, sur laquelle nous reviendrons au Chapitre IX, proposition qui a été le point de départ des principaux travaux des Géomètres qui ont fondé la théorie des fonctions elliptiques.
447. Revenons au cas général où F(w) est d'ordre quelconque. Comme F'(?f), F'(t^) sont liés à F(i«), F(^') par des relations
algébriques
g[F(^), F'(ii)] = o, g[F(P), F'(p)]-o,
on conclut, du théorème démontré au n° 445, qu'il y a une relation algébrique
entre ¥{u 4- v), F(w), F(p), dont les coefficients ne dépendent pas de H et de v.
Quand une fonction F(?^) jouit de cette propriété, on dit qu'elle a un théorème algébrique d'addition. Toute fonction doublement périodique F(m) a donc un théorème algébrique d'addition.
Quand une fonction ¥{u) jouit de la propriété que Y{ii-\-v) est une fonction rationnelle de F(?^), F(t>), F' (m), F'(p), on dit qu'elle admet un théorème algébrique d'addition univoque. Toute fonction doublement périodique F(w) admet donc un théorème algébrique d'addition univoque.
448. Il convient de rapprocher des théorèmes que nous venons d'établir d'autres théorèmes qui peuvent être regardés comme leurs réciproques. La démonstration de ces théorèmes repose sur des propositions de la théorie des fonctions que nous avons voulu éviter. Ce sont eux qui servent de point de départ à l'exposition magistrale de la théorie des fonctions elliptiques que M. Weierstrass a donnée dans ses Cours à l'Université de Berlin (-).
La fonction analytique la plus générale, ayant un théorème
(') Œuvres, t. I, p. i45 (nouvelle édition i88i). (,2) ScHWARZ, Formules, etc., n" 1, 2.
SUITE DES THÉORÈMES GÉNÉRAUX. Ql
d'addition univoque, ne peut être qu'une fonction analytique univoque se comportant aux environs de tout point fini comme une fonction rationnelle : elle ne peut avoir, dans une région finie quelconque du plan, qu'un nombre fini de pôles; elle ne peut prendre, dans cette région finie quelconque du plan, qu'un nombre fini de fois une valeur déterminée arbitrairement fixée. On en conclut qu'elle ne peut être qu'une fonction rationnelle, ou une série entière, ou le quotient de deux séries entières. On démontre d'ailleurs que, dans ces deux derniers cas, elle est nécessairement périodique; mais les fonctions univoques périodiques ne peuvent être, comme nous l'avons montré (n° 83), que simplement ou doublement périodiques.
Les fonctions doublement périodiques ont toutes un théorème algébrique univoque d'addition. Relativement aux fonctions simplement périodiques ayant un théorème algébrique univoque d'addition, on démontre qu'elles sont des fonctions rationnelles de
e^ , où to est une constante ; d'ailleurs, les fonctions rationnelles de u ont évidemment un théorème algébrique univoque d'addition. Ainsi, les fonctions analytiques de u^ ayant un théorème algébrique univoque d'addition, sont les fonctions rationnelles de m,
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les fonctions rationnelles de e '^ et les fonctions doublement périodiques, lesquelles sont des fonctions rationnelles àe pu et de p' u construites au moyen de périodes convenablement choisies. Plus généralement, on démontre que toute fonction analytique qui admet un théorème algébrique d'addition, dans le sens qui a été expliqué plus haut, est une fonction algébrique de m, ou une
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fonction algébrique de e " , ou encore une fonction algébrique de la fonction pu construite au moyen de périodes convenables aco,, 2W3.
