I. — Théorèmes d'addition pour la fonction pu

449. Nous avons rencontré, à plusieurs reprises, les formules relatives à V addition de l'argument dans les fonctions doublement périodiques. Nous allons maintenant nous occuper plus spécialement de cette question.

Rappelons d'abord les formules (VII3) établies à nouveau au n° 396, et d'où l'on déduit immédiatement les relations

t{u -^ a) -^Ziu — a) — ilu = — ■<

pu — pa

Z(u^a) — au — a) — -2^a= ~~ P ^ ■ P{u^a)^piu-a)-^pu=.^ J^J^ \

P^"-^">-P("-^^=(p.-pa)-^'

l [p(« + a)-p«] Pi^-^lil^ + -^ = i V'^^-V'a .piTî ^ ' ^ i ^u 'ipu 'X pu-pa

La quantité

(pa — pa)2

est symétrique par rapport à u et a, et c'est une fonction paire

ADDITION ET MULTIPLICATION. . qS

(Je II et de rt; le second membre doit pouvoir se mettre sous une forme qui mette ces propriétés en évidence^ en exprimant tout en fonction entière de pu^ développant et réduisant, on trouve, pour le numérateur du second membre,

on a donc

{pu-paf

Cette équation, avec la seconde des équations (ClIIo), conduit immédiatement au résultat suivant :

(CIIU) p(»±a) = ^'P" + P^^^"P^^P^-"^^^^-^^^P'"P'^.

■i.{pu~pa)^

Le lecteur établira sans peine, au moyen de ces formules, les relations (')

(5) p(„±.)H-p„-Hp<. = i(|^;^';)'.

pMpa-4- — ) +^3(ptt + p«)

(6) p{a-\-a)ji{u — a)

(pu — pay puis la relation

i(pupa-h-^j H- 2^3 (p "■+•?«)

{pu^pa){ipupa — \gi) — g3Z+:p'up'a qui, pour u = a, donne

(GIII7) P(2M)

Ainsi p u est une fonction rationnelle de p ( - ] > donc aussi de

P\~m) ^^ ^^ ^^^ "'^ entier positif quelconque; c'est là un cas particulier d'un théorème que nous établirons dans le paragraphe

(') Voir ScHWARZ, Formules et propositions pour V emploi des fonctions elliptiques, traduction de M. Padé; article 12. — C'est à cette édition française que nous renverrons dorénavant.

suivant. En faisant ii ^ a dans la formule (GIII5), on a immédiatement cette seconde expression de p{i m),

(GUI:) i^{iu)-^i]^u=='-^^.