Si l'on pose, pour abréger

x = p(u-+-a), y = pii z =: - " — )

2 pu — pa

on peut écrire les relations (CIII3), (CIII5), (VII3),

{x — pa)(y — pa) = -p"a — zp'a,

en éliminant x qI y entre ces trois relations, on a

'dz\^

du

&z'^pa-v- ^zp' a-{- ^p^a — -xp" a.

Nous savions déjà, parle théorème de Liouville(n°433), que toute fonctions doublement périodique du second ordre de la variable u

vérifie une équation différentielle de la forme [-r-j —/(s), où

f{z) est un polynôme du troisième ou du quatrième degré en z', nous connaissons maintenant la forme particulière de ce polynôme pour la fonction z^-- — ; cette forme nous sera

^ 2 pu — pa

utile plus loin.