Considérons la fonction de u

I pu pu i pa p'a I p b p' b

où a et 6 sont des constantes. Il est clair que f{u) est une fonction doublement périodique du troisième degré et que o est un pôle triple, sauf dans le cas où le coefficient de p' u s'annule, c'est-à-dire sauf dans le cas où l'on a

a^b (raodd. 20)1, 2CO3);

ADDITION ET MULTIPLICATION. ' g5

excluons ce cas pour le moment; la somme des zéros dans le parallélogramme des périodes doit être congrue à la somme des pôles, c'est-à-dire à o; puisque a et b sont des zéros distincts, il faut que le troisième zéro soit — a — b; on en conclut l'égalité importante

( p{a-^b) —p'{a-hb) (GlIIg) I pa p'a

I pb p'b

ou, si l'on veut, le théorème équivalent : la congruence

entraîne l'égalité

I pa p'a I pb p'b I pc p'c

(modd. 2.W1, 2CO3)

Cette égalité subsiste évidemment si l'on a b^c; elle n'a plus de sens si l'on suppose b^ — c, puisqu'il faudrait alors qu'on eût a ^ o, en vertu de la congruence supposée.

452. Observons encore que, d'après le n° 391, on peut écrire, en conservant à /(m) la signification du précédent numéro,

cfiii — a) 1:^(11 — b)a'(u-ha-hb)

pourvu qu'on n'ait pas a^EE^±z b; on déterminera la constante C en égalant les coefficients de — dans les deux membres développés suivant les puissances ascendantes de 11, savoir :

— %{pb — pa) = — i pour le premier, et

Crfa^fbcfia + b) pour le second; on en conclut la valeur de C et la relation

i pu pu I pa p'a I pb p'b

^^ad^bci^u

gÔ CALCUL INTÉGRAL.

Il est bien aisé de vérifier que cette identité subsiste dans le cas, que notre démonstration exclut, où a serait congru à è, modulis 2 0),, 20)3. Si, dans cette identité, on suppose a =: w,, 6 == 0)3, en se rappelant que l'on a (VIIi)

— a'(a)i — 0)3) (^Wo

P^^-P'"^^ a-^co. 0-^0)3 ''

il vient

a'(ft — («1 ) ^(m — («2) Cf» — 0J3)

a" Wj S'Wj I3'U)3 tf* u

C'est de cette égalité qu'on a déduit, au n° 98, l'équation différentielle à laquelle satisfait la fonction pu.