Si l'on a

a H- è -i- c ^ o (modd. 2 0)1, 20)3),

le déterminant

pa p'a I

Vb p'b !

pc p'c !

est nul; si donc on exclut le cas où l'on aurait pa = pb = pc, il existe deux nombres (') ^, [■*■, tels que l'on ait

!p' a = Ipa -h [JL, p'b = lpb~ ix, p'c =lpc -^ix.

D'ailleurs les couples de quantités p'a, pa; p'b, pb; p'c, pc, mis respectivement à la place de X', X dans l'égalité

vérifient cette égalité. Les quantités pa, pb, pc vérifient ainsi l'équation

si donc, comme nous le supposerons dans la suite, deux de ces quantités ne sont pas égales, on aura identiquement

4X3 X2X2-(^2+2X[^)X-(^3-t-fJt2)-4(X-pa)(X-p6)(X-pc),

(') Foi/Halphen, Théorie des Fonctions elliptiques, t. I, p. 3o.

c'est-à-dire

/ pa-\-pb-hpc =:-ll-^,

(3) lpbpc-hpcpa^papb= — • (^.2-H 2X|x),

( papbpc = -^(g3-^[x^).

En remplaçant dans ces égalités \ et lu par leurs valeurs tirées des équations (a) qui donnent

^Glil,) ^^^P'b-p'r^p'c-p'a^p'a-p'b

pb — pc pc—pa pa — pb

^ ^ pbp'c — pcp'b ^ pcp'a — pap'c ^ pap'b — pbp'a ^ Pf> — P(^ pc — pa pa — pb

on obtient une série d'identités qui toutes seront des conséquences

de la congruence

« -F 6 -i- c = o (njodd. 2Wi, 2W3),

et parmi lesquelles figurent en première ligne celles-ci

k\pb — pcj Wpc — paj \\pa — pb

qui équivalent évidemment à l'égalité (CIII5), dans laquelle on a pris les signes supérieurs.

On a supposé que deux des quantités j3rt, p^, pc n'étaient pas égales. En tenant com|>te de la continuité, on voit de suite que si l'on suppose deux de ces quantités, mais non trois, égales, celles de ces égalités où ne figure pas un dénominateur nul devront subsister.

Si l'on élimine A et ix entre les trois équations ([S), on parvient à l'égalité

i \p(ipo^pcpa^papb^^\

(GIIIio)

f =^'\papbpc— g3){pa + pb-^pc),

qui est encore une conséquence de la congruence

a -h 6 -i- c s= o (modd. 2toi, 2W3),

et même des diverses congruences

a ± 6 ± c ^ o, T. et M. - III. 7

puisque les deux membres ne changent pas quand on y change h ou c en — h ou — c.

4o4. Nous nous contenterons de citer les relations suivantes, que le lecteur établira sans peine en se reportant au type le plus général d'une fonction doublement périodique donné au n" 391 et aux formules (CIIIio), (^Hi)' relations qui ont lieu quels que soient a, b, c,

(GIIIu)

pbpc + pcpa^paj)b

(^ (a -^ b -ir c) 'i i a -\- b ~ c) cï U

tf* a 3'* b :i'*c -. -{Tpb — pcY[pa-p{b ^c)][pa — p{b — c)] ^ -(pc —pay[pb — p{c -^a)][pb — p{c —a)] =~- —{pa — pb)-[pc —p{a-\- b)]{pc —p{a— b)].

Signalons aussi l'égalité