GUI
p'a -p'b Pb P'c
pa p'a
PC p'b
P'd ^ p'{a^b) — p'{c-^d) ■pd p{a-^ b)—p{c-hd) ■p'd p'(a-r-c) — p'(b-\-d)
pa — pc
Pb
p{a-hc) — p{b-hd) '
qui a lieu quels que soient a, b, c, d. Elle se déduit immédiatement de l'identité que l'on obtient en remplaçant chaque fraction parla différence des fonctions "Q à laquelle elle est égale, d'après la première des formules (VII3).
45o. Nous allons (*) maintenant établir le théorème général dont les égalités (CIII/,), (GlIIg) sont des cas particuliers. Si l'on pose
I p Mo P' Wo I p«, p'Ui
fo(Uo, Ml, . . ., Un)
et si l'on regarde cette fonction comme une
onction de Uq, elle
C) Voir KiEPERT, Journal de C relie, t. 76, p. 21.
n'admeltra dans le parallélogramme des périodes qu'un seul pôle, Je point o, et ce pôle sera d'ordre /? , + i ; ce sera donc une fonction doublement périodique, d'ordre /i + i, si toutefois, comme nous le supposerons d'abord, le coefficient de p^"''^hio, que l'on peut représenter par ( — 1)«/<(;^,, Mj, . . ,, u,i), n'est pas nul : J\{U{, Uo-, • • •, Un) est un déterminant de même nature que /„. Ce déterminant /o, regardé comme une fonction de ii^, a un pôle unique dans le parallélogramme des périodes : ce pôle est congru
;'i zéro; Je coefficient de -Tjijrjj dans le développement suivant les
iniissances ascendantes de «o? est
//,, U2, ...,M« sont n zéros incongrus de/o, le (/i + 1)''""' zéro est donc — ( ;^, + Mo 4- . . . + u,i), en supposant que cette quantité ne soit pas nulle : par suite (n'^ 391), on peut écrire
f .„ „ „\ r g'C»! — "0) ^(iij— Uo)...<f(u,i— f^o) J'(;/.o-^- h, + ...-4-//„) J,{uo,Ui,...,u„) = Co -^^^^^ -'
Co ne dépendant pas de Uq] on trouve la valeur de Uq en égalant les coefficients de —j^:^ dans les développements des deux membres, suivant les puissances ascendantes de Kq-, on obtient ainsi :
en traitant Je déterminant /, de la même façon que/,,, en continuant toujours de la même façon et en observant que l'on a
I I p{««) I a'Uin':^-u„-i
on obtient une suite d'égalités qui, multipliées membre à membre, donnent
3'(j<o-î- "I-+-- • •-+- u„) FT a'iu^— it^) CIIIu) /o = (-i)«i!2!...«! — -;— ^ '-,
OÙ le produit est étendu à tous les systèmes de nombres (a, [î) formés par chacune des combinaisons des nombres o, i, 2, . . ., «
lOO CALCUL INTÉGRAL.
pris deux à deux, dans lesquelles le premier nombre est toujours supérieur au second. A la vérité, cette démonstration suppose qu'aucune des sommes MjH- Uo -{-... ~h Un^ ?<2+ «3 -+-...+ m«, ..., u,i^i+ Uni Un n'est congrue à zéro modiilis aoj,, 2(1)3; mais la considération de la continuité montre que la formule doit subsister, pourvu qu'aucun des nombres Uq, m,, u^i ■ . ., u,i ne soit congru à zéro.
