Posons maintenant

on aura, en désignant par A le nombre 2q~' q^ qui ne dépend pas de Vy

d'où, en prenant les dérivées et faisant v = o,

et, par suite,

&i(i^|T)=i^;(oh)sinTrp/^

puis, pour une détermination convenable des logarithmes,

log2r,(p|T) = log\^ 2r', (o|-:)H-logsimrp-i-log jj^-

Choisissons arbitrairement une détermination de log- ^\ (o|t) ; prenons pour logsinTzp- la fonction holomorphe Is(t') définie plus haut; observons enfin que, si l'on pose x =z t-hit', en désignant par t, t' des nombres réels, la fonction /((^), dont les zéros sont les mêmes que ceux de la fonction S, (v), à l'exception des zéros de cette dernière fonction situés sur l'axe des quantités réelles, ne s'annule pas entre les deux parallèles à cet axe, menées à une T. Cl M. - III. 8

Il4 CALCUL INTÉGRAL.

distance de cet axe égale à ^', en sorte que les diverses déterminations de la fonction log J) peuvent êlre définies comme des fonctions holomorphes de v entre ces deux parallèles; choisissons celle des déterminations qui s'annule pour (^ = o. Dès lors la fonction logSr, (pIt) sera définie pour tous les points situés entre les deux parallèles, excepté les points pour lesquels p est un nombre entier, sauf à regarder comme distincts les points de même affîxe qui sont situés sur des bords différents des deux coupures, allant sur l'axe réel de i à + oo et de o à — oo; à l'intérieur de la région limitée par les parallèles et les deux coupures, elle est holomorphe.

467. Occupons-nous d'abord du développement de la fonction \o^f{v). En posant t^ == a + [Ît, où a et [S désignent des nombres réels, on aura

où h désigne la valeur absolue de ^; on aura donc

I qin g2vni I — fi2{n+^)^ | gin g-icKi | — h^Ui-^) ;

si [S est en valeur absolue plus petit que i, les quantités précédentes seront toutes deux plus petites que i ; donc, puisque la fonction

\og(i-x) = - - j -...,

où le premier membre désigne la détermination principale de log(i — x), est une fonction holomorphe de a; tant qu'on a j ^ [ < I , les fonctions de t^

log(l — cf-'ie^iv-Ki) = ^ V 1 ginre^ironi^

log(i — ag'^/î cosaç'Tr -i- g'*") = — ^ — ^^nr cos2 rvTz /• = i

seront holomorphes tant que l'on aura | ^ ] <^ i . La série

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. Il5

en supposant qu'elle soil convergente, est évidemment une des déterminations de log/(^'); la convergence de cette série et le fait que sa somme est une fonction holomorphe de p, tant que Ton a |P|<;i, seront établies à la fois (n° 37) si l'on prouve que la série double

\^ - q'^'"' cosirvTz (n, r = ï, 2,3, . . .)

est absolument et uniformément convergente tant que | [3 1 est moindre qu'un nombre plus petit que i. Or on a

etj par suite,

I 2 cos 2 rt^ TT I < A2''P -H A-2''P ;

dès lors il suffit de prouver la convergence des séries à termes positifs

21a^(-P)'-, ^Ih^-^n-^^r,

qui est évidente lorsque l'on a | ^ | <^ i , puisque la somme de la première série, par exemple, est égale au logarithme de l'inverse du produit infini

TT(x A2(«+p)).

Nous pouvons donc, en supposant 1 13 | <^ i, définir log/(^'), log \, comme des fonctions holomorphes de v parles égalités

, /., V V ^ >,„,. V 2 û'*'' cos an

rvTz

et celte détermination de log ^t^J est bien celle qui s'annule pour

I l6 CALCUL INTÉGRAL.

468. Il suffit de remplacer log 4t— - par le développement précédent, dans l'expression de logS», (ç) définie plus haut, pour avoir le développement de cette fonction en série trigonométrique.

Il est clair que le procédé employé pour développer logS, (ç) en série trigonométrique s'applique aussi bien aux trois autres fonctions 2r(ç'); nous réunissons ci-dessous les formules ainsi obtenues, qui peuvent être utiles dans diverses circonstances :

log&,(p) = \og -y^{o)-h \ogs\nT.i> -i-^ —2—-— (2 sin rTzvy,

Co.