p)2ri(fv

/ V « sin (2 m:

TTtV -t- /î > «2/J ^

, V^ „ sin (2mït' -t- 2x(p) — ûr2" sin2n7:p

= col TCP -+- col TT (V -4- 4 X| ^ ' " '''

4tc 2r4(p)^4(H^)

-^ — ^ — sin [(2/1 — i) Tzv -^ Tzw] — grî/i-i sin [(2/1 — i)~p — r.w]

^•à ^ I — 2 g2/i-l coS 2 TT W -t- grV't-2

La condition A << | ^ | <! t équivaut manifestement à la condition

où le symbole ^ placé devant une quantité signifie que l'on doit envisager la partie réelle seulement de cette quantité. De même,

la condition sjli<^\x\<. -J= équivaut à la condition \Jh

Si l'on pose c = a + jSt, en désignant par a et [3 deux nombres réels, on peut dire aussi que les formules (CVIIi 2) ont lieu sous la condition [ ^ | < i et les formules (GVIJ3^) sous la condition

lN<-i-

482. Nous allons maintenant supposer que la variable y vérifie les conditions h<.\y\<i j dans les formules (CVIIi,^), les conditions y/Zi < I JK 1 < "7= dans les formules (GVIl2,3)- Y h

Plaçons-nous, par exemple, dans le cas de la formule (CVIL) ; en supposant que les valeurs absolues de x,y soient toutes deux

comprises entre i//i et --p, et en désignant par a, v des nombres

impairs positifs quelconques, on aura

(GVII:)

Pi(')pi(^r)

471 Sr4(.)2r,(»') 2^^ ''°^

En nous plaçant dans le cas de la formule (CVIIi) du n° 479, on aura de même, en supposant que les valeurs absolues de ^, y soient toutes deux comprises entre A et j et en désignant par m, n des entiers positifs quelconques,

,^..,, , I 'zs'.(o)'^\(v -\- w) . V^ . . ,

(L.VII5) 1; ; \^ — -- = colTt^ -(- cotTTW -T- 4 > q^'^'"%m{inT.v^-i.m-rtw)

Les quatorze autres formules (CVIIt/,) fournissent des développements analogues en séries trigonométriques à double entrée.

483. Il est aisé (') de déduire, de chacun de ces seize dévelop-

(' ) Voir Halphen, Fonctions elliptiques, t. I, p. 438. T. et M. - III.

l3o CALCUL INTÉGItAL.

pements, des séries très rapidement convergentes et convenant, par suite, aux calculs numériques.

Plaçons-nous dans le cas de la formule (CVII7) du n° 482 et