V) IV

L'ensemble des termes de la série à double entrée envisagée, dont nous n'avons pas encore tenu compte, est formé par l'ensemble des termes de cette série pour lesquels ]x — v est un nombre négatif; il est identique à l'ensemble des termes de cette série pour lesquels v— \x est un nombre /jo^/^?/ pair; il est donc représenté par

c'est-à-dire par

^ -^ Wî = I. .2, 3,

q'^ ^ x^y\>-{qV-x^- -t- q^-\i-x'* + ...)= "V q'^^

9^ xV-yV-

qVx''

et l'on a finalement, en observant que le premier membre de l'expression (CVII7) du n" 482 est égal à la différence entre la série à

double entrée envisagée et celle que l'on en déduit en changeant X et j- en ^~' et jK~*i

i-grva^-z I — ^rvj.-

ce que l'on peut écrire, en groupant convenablement les termes,

I S'', (o) S'i(t^ -f- (v) ■^ -y' sinv7r(p -^ w) — g'^ sin [vtiw + (,v — 2)tt^']

> <7- sinv7r(p -I- w)

^ ^v» sinv-iT(p -+- w) — y'^ sin[(v — 9.)-n:«' + vTrt'j

l'indice v prend toutes les valeurs impaires positives.

On a de même, en se plaçant au point de vue de la formule

(GVII,) du n° 482,

colTTf + colTzw — 4 ^ g'^"^ sin2mr(p -i- tv)

.sin2mz(v -+- w) — q^"^ sin[(2n — 9S) tzv -h imziv ]

(«) ' \^ 2n' sin2n7:(f -I- <<>) — g^^" sin [(an — -2)71 (^^> -^ imzi'^

l'indice /i prend toutes les valeurs entières positives, non nulles. Les expressions des premiers membres des seize formules (GVIl5 8) fournissent des développements analogues. Tous ces développements convergent quels que soient v et \v^ et convergent très rapidement.

484. Nous avons obtenu, dans les numéros précédents, le développement de chacune des seize fonctions

l32 CALCUL INTÉGRAL.

SOUS trois formes différentes. Si, dans chacun de ces développements, on donne à l'une des variables p, w des valeurs particulières convenablement choisies, on obtient des expressions très remarquables pour les quotients des fonctions 2r, les inverses des fonctions 2?, les inverses de leurs carrés, les inverses de leurs produits deux à deux; c'est de ces développements que nous allons dire quelqvies mots.

Au mojen des développements des quatre fonctions

on obtient aisément, en faisant tendre w vers o, les expressions

des dérivées logarithmiques g, de chacune des fonctions ^{^)

sous la forme déjà obtenue au n° 469 et aussi sous d'autres formes remarquables. Ainsi, en observant que l'on a

hm ^— <5,— — — ôTT — r^ — COtTiP — COlTttv

= lim ^ - , : r-, , , — COtT.V -[ = - g. ' . — COtTTP,

les formules concernant la lonction - , .g, , \ tournissent les trois développements

' ^ ^ — COtTTÇ'

.sina^TTP — o^/j sin(2n — a) TTC' ■^ ûr2rt(/i-hi)

, X;^ „ .sina^TTP — o-i" sinfan — 2) TTC' ,'Sr^() .^ ^ I — •2g'2/icos2 7rp -f- ^r^'i \^ I

dont le premier nous est connu, dont le second est une conséquence immédiate du premier, mais dont le troisième est un développement bien différent qui converge beaucoup plus rapidement que le premier. On obtient enfin un quatrième développement pour la même fonction en faisant tendre ç vers o dans la

DÉVELOPPEMENTS E>' SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. l33

formule (GVII,) du n° 481 ; en remplaçant ensuite w par (^ on a

Il présente cette particularité que la série qui v figure est toujours convergente, pourvu que v ne soit pas un zéro de 2r|((^), et conserve la même valeur quand on j remplace q par q~^ , tandis que le premier membre n'a aucune signification quand la valeur absolue de <7 est supérieure à i. Les développements de cette nature figureront dans le Tableau des formules (GV).