Les développements de celles des seize fonctions

où l'indice de Si((v) au dénominateur n'est pas égal à i, fournissent chacun, si l'on j fait np ^ o, trois développements des douze quotients

on obtient aussi, pour chacun de ces douze quotients, un quatrième développement en faisant t' = o dans les développements

de celles des seize fonctions ^ — s- — : où l'indice de ^(v) au dénominateur n'est pas égal à i , et en remplaçant w par v. A.insi les lormules qui se rapportent a la fonction ^ , ^r^ , — r lournissent les développements

I ^'i(o) &,(t^) VI ^ -^ ., , V T^ •

' 7 — : sin(2rt — i)Tti^= > q^ sinvTît^

3r,(o) ^vl^^) ^ '-^-^

= Sinirt^ > ^ ^

2^2«-lCOS2 7rt' -1- ^^«-2 n — \

Les deux premiers développements supposent [ [^ ] < ^ (n° 481); le dernier est valable quel que soit c.

On trouvera tous ces développements dans le Tableau des for-

l34 CALCUL INTÉGRAL.

mules (CVIIT) : à cause des formules (XXXVI5), (XXXVn,,), (LXXl6 8), on en déduit immédiatement ceux des fonctions sn, en, dn, de leurs inverses et de leurs quotients mutuels.

486. Pour obtenir les développements de l'inverse de la fonction 2r, (ç), il suffît de faire

dans les formules qui se rapportent à la fonction

on a ainsi

I Jj (o) I ^ -^ ^^^ sin(2n — i)-Ki> — q^'^ sinanup

et un troisième développement à convergence très rapide que nous laissons au lecteur le soin d'écrire; on peut d'ailleurs lui substituer un autre plus simple et également très convergent qui a été donné par Jacobi.

Observons d'abord que, dans la dernière formule, on peut se contenter de faire parcourir à l'indice m tous les nombres impairs positifs, puisque le tableau à double entrée des valeurs que prend s\n2(n — m')-rzv, quand on y remplace rt, m' par tous les entiers positifs, est formé de termes nuls ou égaux et de signes contraires : on a donc

- ^V^ = î --f- y û'2«!X(^2/i-lA a7-2«+|X)

OÙ n est un entier positif quelconque et ]x un nombre positif impair, de sorte que les exposants de x sont tous des nombres impairs. Groupons tous les termes de la série à double entrée pour lesquels l'exposant de^r est égal au même nombre impair positif v et ceux pour lesquels l'exposant de x est égal au nombre impair

DÉVELOPPEMENTS EX SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES. l35

négalif — v; on aura immédiatement

' PW ! ^. y (a;V a^-V) y r^(2r-l)(2/-l+V)^2r(2

a:^''^''+l) 37-1 qrir+i)

La série qui figure dans la dernière égalité, multipliée par ^ — :r *, se met sous la forme

en transformant le terme général au moyen de l'identité

g2''(a7'--t- 37-2— 2) = (l - q^'T- - (I - 372^2'-) (t — 37-2<jr2r),

et en remarquant que la somme de la série

est égale à un, on voit qu'on peut écrire encore

2 pi(a7) X-X-ijLà^ ' (I — a72^2r)(i a;-2^2r)

Il résulte de là que la fonction ^ ' ^ peut être mise sous la forme

- e,', : = -^ -1- 4 y «V sinvTTP (v = I, 3, 5

l36 CALCUL INTÉGRAL.

en posant

OU encore sous les formes très rapidement convergentes, quelque soit i^,

■-.' ' = -. — 4 simr (^ > -^^ ~ ^^ i— -

En changeant x en x^q dans l'une des expressions précédem'ment obtenues pour - —^ — -, on trouve de suite

ou, en réunissant les fractions qui ont pour dénominateurs

2 p,(^) Zi ^ '^ ^

(I^.2^2r-lj(^[a^2^2/-lj

formule qui équivaut à la suivante :

! 5Uo) ^ V ^,v-i .C'-i)^ '-^"-^

I — 2 cos2Tit' q^''-^ -+- q'-'-

I 3'i(o) V* / Li i =L y { iV~' a

En changeant t' en ^ 4- i, on a immédiatement les formules analogues pour les inverses des fonctions 2»2(t'") et ^3(<^)' O^i les trouvera dans le Tableau (GIX).

foi^ c ^ \ c 1 • 9\{^Y) 2rt(p-f-»')