A. VI ([J,,V

En changeant dans ces formules x en ix^ (^ en f + 4, on a immédiatement les formules analoeues pour les inverses des fonc-

tions ^'i[x)^ ~'2(^) ^^ p3('^)' ~^3(*^')- ^'^ '^^ trouvera aussi dans le Tableau (CIX)"

488. Ces divers développements, au mojen des formules de passage, en engendrent d'autres relatifs à la fonction réduite JU (m) du n° 371,

^ ' <^u:fUo 210, ^i{i>)^i{w)

ou aux expressions analogues, où les fonctions a" sont remplacées par des cofonctions. Comme pour toute fonction de seconde espèce, dont l'un des multiplicateurs est i, la fonction X(u) peut servir d'élément simple, on a donc aussi des développements en série trigonométrlque pour toute fonction réduite de seconde espèce.

l38 CALCUL INTÉGRAL.

Nous n'écrirons que les deux suivants, concernant A^(u),

, , . T: / TZU TUo\ 9.TT X?

X (u) = cot h- cot — - M- — >

sin — (nu -h Uq) — «2^ sin

Wi ' -^ (0,

TlUo I — 2 <72« COS h a*"

oA9(m)= cot- 1- cot — -] -\ > q^""'sin — (nu-hmuo);

20)1 V 2(..), 2tûi/ Wj .^^ ^ (Oi

ils sont valables, le premier pourvu que la partie réelle de

Wi c

soit comprise entre la partie réelle de — ? et celle de 1, le

second pourvu que les parties réelles de — . et de — ^. soient chacune comprise entre ces deux mêmes limites.

III. — Développements des quantités e^, ria, k, K, E, ... en séries en q.

489. Les développements des fonctions doublement périodiques, de première et de seconde espèce, en séries trigonométriques, engendrent un grand nombre de développements en série pour les constantes que l'on a introduites successivement dans la théorie des fonctions elliptiques; dans ces séries, c'est çr = e'^^' qui est l'élément; c'est pourquoi nous les appellerons séries en q. Nous n'en citerons que quelques-unes.

Les développements (CVI3) de pu et de p{u + Wa) fournissent des séries en q pour e,, e.>, 63 et ■^,. En égalant les termes indépendants de u on a, en effet,

(GX2) o ___ + -___2^___,,

ï)i 2 7t2 '^ rg'' (x>i wf ^ I — g^i"

DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQLES. - iSq

Les trois dernières de ces équations sont identiques aux relations (XVII2), comme il est aisé de s'en assurer. La première donne r,, ; en la retranchant des trois dernières on a

6wf