CXVIII2) Ç

513. Les deux résultats contenus dans la dernière formule peuvent être reliés l'un à l'autre par le théorème de Cauchy qui permet plus généralement de déduire toutes les intégrales de la

forme / ' \ \ dv de l'une d'entre elles.

Soient, en effet, v^^ w^■^ deux points quelconques tels que les parallèles à l'axe des quantités réelles menées par ces points, et le segment de droite joignant ces deux points ne contiennent aucun zéro de la fonction 2rj(f). Soit (^0 celui des deux points situés le

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. l63

plus bas ; considérons alors le parallélogramme dont les sommels sont ('o, ('o+ij ('^o+ij <Vo; en parcourant ce parallélogramme, de manière à rencontrer les sommets dans l'ordre indiqué, on le parcourra dans le sens direct. Si A est un point quelconque du segment qui joint les points Co, Wq', si B est le point d'intersection du segment qui joint les points Iq 4- i , <Vo + i et de la parallèle à l'axe des quantités réelles menée par A, la fonction -^, — prend les mêmes valeurs en A et en B; il résulte de là que l'intégrale / ^ dç, étendue au périmètre du parallélogramme, est égale à la différence des intégrales reclilignes

D'un autre côté, l'intégrale étendue au parallélogramme est égale à lir^ multiplié par la somme des résidus de la fonction

K-^ - relatifs aux pôles de cette fonction situés à l'intérieur du

parallélogramme, c'est-à-dire par le nombre de zéros de la fonction 2r<(t') situés à l'intérieur du parallélogramme, nombre qui est évidemment égal au nombre n de zéros de la même fonction situés sur l'axe des quantités purement imaginaires entre les deux parallèles à l'axe des quantités réelles menées par les points Po,<»'o- En appliquant l'égalité ainsi obtenue,

'^" — ' - dv — iiTzn,

2ri(p)

lOl

cas oii Po est un point quelconque du côté du rectangle (R) qui

11 • t T I t: , . I ntles deux points 1 — > . autre que le point »

el en tenant compte du résultat du n" 512 relatif à la valeur de l'intégrale du second membre pour ce choix de c,,, on obtient aisément le théorème suivant qui comprend celui du n" 512, comme cas particulier :

Si l'on a en désignant par a et [3 des nombres réels, dont le second n'est

l64 CALCUL INTÉGRAL.

pas entier, et si l'on détermine l'entier n par la condition

n < P < /i-4- I, on aura ( ' )

^^^^/^--(■^ri + O^L