Considérons encore l'intégrale rectiligne

rfp.

où Çq est un point situé sur le côté inférieur du rectangle R qui

va du point au point

Supposons d'abord que la partie réelle de t^o» que nous désignerons par a, soit positive; le chemin d'intégration ne rencontrant alors pas la coupure, on aura

Le second membre est l'une des déterminations du logarithme de

il est donc égal à la quantité

— lirAa.— - ) -f- jTi — i-KZ ■= 411(1 — 10.)

augmentée d'un certain nombre entier de fois liiz. D'ailleurs, l'argument de 2ri(ç^o) «st compris entre o et — -; l'argument de Sfj(c'o + 't), égal et de signe contraire au précédent, est compris

(') C'est à M. Hermile que l'on doit la détermination des intégrales de ce type et du type suivant. (Voir la Note insérée dans le tome II du Calcul différentiel et intégral de J.-A. Serrel, p. 887.) Il est à peine utile de faire observer que les déterminations obtenues dans les n"' 512-516 sont contenues comme cas particulier dans la formule générale donnée dans le précédent paragraphe.

INTÉGRALES DES FONCTIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES. 'l65

<'iilre o et-; le coefficient de i dans logSî) (<^o^- '^) — logSr, (ç^o) est donc positif et compris entre o et t; c'est donc 7:(i — aa).

Si, au contraire, la partie réelle de v^^ que nous continuerons (le désigner par a, est négative, le chemin d'intégration rencontre la coupure au point a en allant de bas en haut, et l'on aura

Dans ce cas encore, logS», (t'o + x) — logSift^o) est égal à /■-(i — 2a) augmenté d'un certain nombre de fois lir^; d'ailleurs l'argument de .^i (cq) est compris entre — - et — t:, et celui de

•^i(t^oH-") est compris entre- et tt ; le coefficient de i dans la différence des logarithmes est compris entre tz et au; c'est donc encore 7i(i — aa) et l'on a, par conséquent, suivant que a est positif ou négatif,

(CXVIII;) y''°"'|il^rfp^,-^(d.i-2a).

On a, en parLiciiIier,