CXV,...)

dv — — imi v^^— m \ — ni -

On déduira de là, en désignant par r un en lier positif,

(GXVlIIe) J^'"' |l|^fi?t>=-2r.-7t(.o-m + ^±-

Dans ces deu\ formules, on doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que la partie réelle de Cq — m est positive ou négative.

517. Considérons enfin les intégrales rectilignes du type assez fréquent dans les applications

où a et ^ sont des nombres réels dont le premier n'est pas entier. Une telle intégrale est un nombre purement imaginaire ; elle est, en effet, le produit par x de l'intégrale

où la variable d'intégration x est réelle, et dont tous les éléments sont réels, puisque les nombres a + .rx, a — X' sont des imaginaires conjuguées.

Supposons, ce qui est toujours permis, que ^ soit positif, et déterminons deux entiers m, n tels que si l'on pose

on ait

^ 1 1 il

On observera tout d'abord que la fonction ^^ ne changeant

as quand on change v en v -{- m, on a

on a d'ailleurs

a'— P'T '^a' + P'x ' a' + P'T-f-nT

a'— 8t «^a'— S't— nx »^a'— B't «-^a'

l68 CALCUL INTÉGRAL.

toutes les intégrales portant sur la même quantité -^ On en

conclut, en appliquant les résultats précédemment obtenus, (CXVIII,) / ^^d.rr. / i^^«f,2„,-^(,^a^-p,),

oîi l'on doit prendre le signe supérieur ou le signe inférieur, suivant que a' est positif ou négatif. Quant à l'intégrale qui subsiste dans le second membre, il est aisé de reconnaître qu'elle est égale

à la détermination principale de log^—— ; — ïr-l : la partie réelle

est nulle ; le coefficient de /, compris entre — tc et -i- tt est positif si a' et |B' sont de même signe, négatif dans le cas contraire, nul pour les valeurs particulières a' = dr |.

ON DONNE A^ OU g^, g^\ TROUVER T OU &),, (O3. 1 69

INVER SION