CH4PITRE VII
ON DONNE A2 OU ^2, gi\ TROUVER x OU w,, w,.
I ~ Le problème posé admet une solution et de cette solution on peut déduire toutes les autres.
0I8. Dans ce qui précède on a toujours regardé les nombres (o, , W3 comme donnés : sur ces deux nombres on a supposé seulemenl que le coefficient de fdans le rapport t r^z — est différent de zéro, et même positif toutes les fois qu'interviennent les fonctions 2». C'est avec ces nombres to,, 0)3 que nous avons construit toutes les quantités ou fonctions que représentent les symboles gi^ ^;,, :^(m|(o,, W3), ^(m|w,, W3), ^(wUo,, (03), <?,, ^2, 63, ■/!), rjj, Tia, y/e, — 63, ... ; c'est avec leur rapport t que se construisent les quantités et les fonctions q^ A", A-', 2f((^), K., K', snw, . . ., qui sont toutes déterminées sans ambiguïté.
Il y aura lieu souvent, dans ce qui suit, de mettre en évidence les nombres 10 , , Wg , t. Nous écrirons alors ^2 (^i , W3 ), ^3 (w, , (03), /-(^r), -^(x), v'ICÔ, sjW), K(t), R'(t), au lieu de g.,, g,, k, k' , yÂ-, y/ A-', K, R'. Nous continuerons à écrire 2»((^|t) au lieu de ^{v) et nous écrirons aussi, dans le présent Chapitre, sn(MJT), cn(t^|T), dn(M|T), pour désigner les fonctions de u et de t définies par les relations (LXXIa^CT,», XXXVII,, 2), au lieu de sn(u,k), cn{u,k), ân{u,k), notation que, afin de nous conformer à l'usage, nous avons introduite au n" 301.
Dans les problèmes qui dépendent des fonctions elliptiques ce n'est cependant pas les nombres lOt, (03 ou t qui sont immédiatement donnés. La solution de ces problèmes se ramène à l'intégration de l'équation différentielle
du
^^JK-*— T2JK — T3,
où u désigne la variable, j^ la fonction inconnue et ya» Ys des nombres donnés^ tels que l'équation 4jk' — 72^ — 7.3^=^0 n'ait pas de racines égales.
On obtiendra une solution de cette équation si l'on connaît deux nombres w,, (03 à rapport imaginaire, tels que les quantités o-j,(w,, W3), ^3(oj,, (03), définies par les séries (IV5)
(2m<oi-i- 2/10)3)*
aient les valeurs données ya, y^. Cette solution sera la fonction P(m|(o,, (03) formée au moyen de la variable u et des nombres w,, (1)3 comme il a été expliqué aux n°^ 86-88; on a, en effet, démontré au n" 98 qu'une telle fonction vérifie l'équation différentielle
dyV
^) =47^ -^2(^1, C03)jK — ^3(101, W3),
et ^2(^1, CO3), o-j^co,, (1)3) sont respectivement égaux à ya, y.a-
Les mêmes problèmes dépendent, si l'on veut, de l'intégration de l'équation différentielle
où X est un nombre donné différant de o et de i. On obtiendra une solution de cette équation si l'on connaît un nombre imaginaire T, dans lequel le coefficient de i soit positif, et tel que la quantité A-2(t), définie par la formule (XXXVII,)
ON DONNE Â* OU g^i, gz\ TROLVER T OU 0),, W^. 1^7 1
ait la valeur donnée x. Cette solution sera la fonction sn(i^lT) formée au mojen de la variable u et du nombre t de la manière suivante : on construit d'abord (XXXII) les fonctions ^{v\-z) de la variable indépendante p et de t; on forme ensuite (XXXVIIi,2> LXXI3) les quantités
^^^^l^^i' K(x)-.^&|(olx),
et l'on pose enfin (LXXIo) sn(M|T) =
En effet, d'après ce que l'on a vu aux n°^ 301-306, la fonction (le u ainsi formée, qui est identique à la fonction sn(/^, k) définie nu n°30I, doit vérifier l'équation différentielle (LXX,)
et A-(7) est égal à x.
On voit, dès lors, se poser les problèmes suivants :
Quand on se donne les nombres yo, ys ou x, existe-t-il deux nombres à rapport imaginaire to,, to,,, ou un nombre imaginaire T dans lequel le coefficient de i soit positif, qui vérifient respectivement les équations
^2(^1, W3) = Y2, j^'sCWl, W3) = Y3>
ou
Quelles sont toutes les solutions de ces équations où (o,, (03 ou T sont les inconnues?
ol9. Nous démontrerons d'abord les deux théorèmes suivants :
I. — Si l'on se donne deux nombres y2j Ys iels que V équation en y
4jk3 — Y2JK — Y3 = o
ait des racines distinctes £1, £05 ^3, ou, ce qui revient au même,
si Von se donne trois nombres distincts s,, eo, £3 dont la somme soit nulle et si l'on pose
il existe deux nombres w,, tog tels que la partie réelle du rapport ~ soit positive {non nulle) et qui vérifient les équations
(a) ^2(^1, W3) = Y2, .^3(Wl; «3)=: Ys.
II. — Si l'on se donne un nombre x qui n'est ni négatif, ni positif et plus grand que i, il existe un nombre 1 dont le coefficient de la. partie imaginaire est positifs qui vérifie l'équation
520. Nous commencerons par montrer que le théorème I[, supposé vrai, entraîne le théorème I.
Les nombres distincts s,, $0, £3 étant donnés (s, + £3 4- £3=0), posons
On peut toujours supposer que les nombres £,, £2, £3 aient été rangés de façon que les conditions imposées à x soient vérifiées : elles le sont, quel que soit l'ordre de £|, £2, £3, si ces trois points ne sont pas en ligne droite; s'ils sont en ligne droite, on prendra pour £,, £3 les points extrêmes, pour £2 le point intermédiaire.
Avec le nombre t qui, par hypothèse, vérifie l'équation ([3) construisons les fonctions 2r(t'|T), puis, ayant choisi arbitrairement la détermination de y/£, — £3, déterminons to, par la condition
^ /si — £3
et posons W3 = to, t. Construisons ensuite les fonctions ^(w | w, , 103), p{u\^ù^, i3i^), ... et reprenons, pour toutes les quantités qui se rapportent à ces fonctions, la suite de nos notations habituelles. Nous aurons (XXXVI3)
^^^^e,-^—^Uo\
OX DONNE A^ OU g^, gz\ TROUVER T OU Wi, 61)3. 1 78
et, par conséquent, ye, — -e3 = v^« — ^s 1 or, celte égalité, rapprochée de la définition de x et des équations
dont la première résulte de la formule (XXXVII,,), montre, puisque X est, par hypothèse, égal à A^(t), que Ton a
Cl — £|, e-2= £2, «3= £3,
et, par conséquent, ^^ = ^21 o3 = Y3-
o21. Tout est donc ramené à la démonstration du théorème M. Nous démontrerons d'abord ce théorème lorsque x est un nombre réel, positif, plus petit que un, et nous établirons, pour cela, la proposition suivante :
Un- — Si X est un nombre réel, positif, plus petit que un, on satisfait à l'équation (,3) en posant
.', \/ 1 — y- sin^ ^ J^ y/i — (i — x)sin2i
Dans les intégrales, oii tout est réel, les radicaux ont le sens arithmétique; -. est donc réel et positif.
Construisons, en effet, avec la valeur de -z ainsi définie, les fonctions 3(p|t), k{-z), k' {-:), K(-:), K'(t); les quantités A-2(':), A'-(t) seront réelles et positives (puisque - est purement imaginaire), plus petites que un (puisque leur somme est égale à un), et l'on aura, comme on l'a vu (' ) au n° 311,
(') A la vérité les formules du n" 311 ont été déduites des formules des n"" 297 il 298 qui donnent, sous forme d'intégrales, les expressions de w, y/e, — e,, ~^ v'^,— e, lorsque w, et -^ sont réels et positifs; mais, d'une part, les formules que nous citons dans le texte auraient aussi bien pu être déduites directement
174 CALCUL IMÉGRAL.
en donnant aux radicaux leur signification arithmétique. Puisque (LXXIg^^) i K.'(x) est égal à ':K(t), on a donc la proportion
/c^(x)] sin^çp
\/i — A-2(T)sin2cp
or cette proportion entraîne l'égalité x = /f- (t); car si, dans le premier rapport, on regarde pour un instant x comme une variable et si l'on imagine que x augmente de o à i , le dénominateur augmentera en même temps que le numérateur diminuera; le rapport diminuera donc constamment et n'atteindra la valeur du second membre qu'une seule fois, quand x sera égal à A"^(t).
La proposition est donc démontrée, dans le cas où x est réel, positif, plus petit que un; en d'autres termes, dans ce cas, on a
ou, d'une façon plus explicite encore, si, dans le premier membre de l'équation ([^), on remplace z par -y-, ce premier membre se réduit identiquement à x.
522. C'est cette dernière remarque, établie seulement dans le c as où X est positif et plus petit que un, qui va nous fournir la démonstration du théorème II dans sa généralité, démonstration qui résultera de ce que deux fonctions analytiques de x ne peuvent coïncider sur une ligne sans être partout identiques.
dans le cas où - est réel et positif, sans passer, comme nous l'avons 'ait, par l'intermédiaire des fonctions ^; et, d'autre part, si l'on veut rétablii- toute la chaîne des déductions que nous avons faites dans ces divers numéros, il suffit, après avoir choisi t comme nous venons de l'expliquer, de choisir arbitrairement
le nombre positif w,, de prendre w^ = w, x, en sorte que -r soit réel e . positif, de
construire toutes les fonctions dont on a besoin au moyen des demi-périodes w,, w^; e,, e^, e^ sont alors réels, rangés par ordre de grandeur décroissa-ate, etc. : la conclusion est la même, et les quantités w,, w^ ne figurent dans cette conclusion que par leur rapport x.
ON DONNE A' OU g-,, gz\ TROUVER T OU &),, Wj. lyS
Nous établirons le théorème suivant :
\lb. — En supposant que x ne soit ni un nombre négatif, ni ((H nombre positif plus grand que un, on satisfera à V équation X r= A'-(t), en faisant
(cxix,) x='/- -^^-—, x'=yv=â==
do , ' r^ do i x'
On suppose que la variable d'intégration osoit réelle et que les parties réelles des radicaux soient positives. Dans ces conditions, le coefficient de i dans x est positif.
523. Observons d'aboi'd que les intégrales définies qui précèdent ont un sens pourvu qu'on fixe la signification des radicaux et que les quantités sous les radicaux ne s'annulent pas dans les limites de l'intégration; dans ces limites i — xsin-cp ne peut s'annuler que si x est réel et plus grand que un, i — (i — x) sin^cp ne peut s'annuler que si x est négatif.
Ces remarques conduisent à introduire dans le plan qui sert à représenter le nombre x deux coupures, l'une qui ira du point i à H- 00 en suivant l'axe des quantités positives, l'autre qui va de o à — 30 en suivant l'axe des quantités négatives. Nous désignerons par (T) le plan dans lequel on a pratiqué la première coupure seulement, par (T') le plan dans lequel on a pratiqué la seconde coupure seulement, par (5), enfin, le plan avec les deux coupures. Il va sans dire que quand on parlera d'un point appartenant à l'un des plans coupés (T), (T'), (5), on entendra que ce point n'est pas sur ime coupure du plan considéré.
C'est surtout au plan (S), à deux coupures, que nous aurons affaire : nous réunissons ici quelques remarques et conventions qui nous seront utiles, soit immédiatement, soit dans la suite.
L'argument de tout point x du plan (S) sera supposé compris entre — -tt: et 4-7^; cet argument varie d'une façon continue avec X, qui, encore une fois, ne doit jamais traverser les coupures. C'est celte valeur de l'argument que l'on adoptera pour celles des fonctions de x dont la détermination dépend de l'argument de la variable; ainsi, en désignant par m un entier positif, s/v. sera un nombre dont la valeur absolue sera la racine m'^™* arithmétique
de I X I, et dont 1 argument sera compris entre et — ; \/y. ser;i
alors dans le plan (C) une fonction holomorphe de x, fonction dont la partie réelle sera positive et dans laquelle le coefficient de i aura le même signe que le coefficient de i dans x. De même logx sera un nombre dont la partie réelle sera le logarithme népérien de |x|, et dans lequel le coefficient de i sera l'argument de x; ce coefficient sera encore du même signe que le coefficient de i dans x, et l'on aura
logx =:: log( — y.) •; Tzi,
suivant que le coefficient de i dans x sera positif ou négatif.
Il est clair que le point i — x est le symétrique du point x par rapport au point ^, qui est lui-même un centre de svmétrie pour
Fis. 2.
les deux coupures; les deux points appartiennent en même temps au plan coupé.
Tout ce qu'on vient de dire de l'argument de x, de ^x, de logx, s'applique naturellement à l'argument de i — x, à y/i — x, à log(i — x); on observera, en passant, que les coefficients de / dans X et dans i — x sont de signes contraires.
Toutes les fois que, z désignant une quantité quelconque, log:; est défini, nous entendrons par \o^(az), où a est un nombre positif
quelconque,
log(a^) = loga -+- iogz,
où log<^ a sa valeur arithmétique.
ON DONNE A^ OU ^2, g^; TROUVER T OU W,, CO3. 177
Lorsque x appartient au plan (C) nous adopterons pour log—-— la détermination logx — log(i — x); on peut dire encore
que le coefficient de i dans log est l'angle moindre que tt en
valeur absolue, sous lequel on voit du point o le segment qui va du point 1 — X au point x : cet angle est positif si x est au-dessus de l'axe des quantités réelles, négatif dans le cas contraire. Celte
détermination est encore la valeur principale de log- -> qui est
holomorphe dans (S).
Lorsque cp varie de o à -, le point i — xsin^cp décrit le segment
de di'oite qui va du point i au point i — ^x; en même temps le point I — (i — x)sin2'^ décrit le segment de droite qui va du point I au point x; les deux points i — x sin-œ, i — (i — x) sin^cp, qui, pour une même valeur de cp, sont situés sur une même parallèle à la droite qui joint le point 1 — ^x au point X, appartiennent au plan (g), si le point x appartient à ce plan.
Nous définirons les quantités y/i — xsin^cp, y/i — (i — x) sin-cp d'après la règle générale donnée plus haut pour y/x, y/i — x : leur partie réelle, qui ne s'annule certainement pas, est alors positive, de sorte que la définition qu'on adopte ici est conforme à celle qu'on a adoptée dans l'énoncé du théorème lU, pour préciser le sens des intégrales définies X, X' ; les coefficients de i dans ces deux radicaux sont d'ailleurs de signes contraires. Le pointy/i — ■ x sin^fp est situé dans l'angle aigu formé d'une part par l'axe OP des quantités positives, de l'autre par la bissectrice de l'angle formé par ce même
axe et la droite qui va de O au point i — x; le point — est
/i — xsin*cp
situé dans l'angle aigu POA symétrique de l'angle qu'on vient de définir par rapport à l'axe OP. On verra de même que le point
--=z=^=z:z= est situé dans l'angle aigu POA' de la figure : la
v/t — (1 — x)sin*cp
direction OA' est la symétrique, par rapport à l'axe OP, de la bissectrice de l'angle formé par la droite OP d'une part, par la droite qui va de O à x, d'autre part. Dans la figure la direction OA est au-dessus de l'axe des quantités réelles, et la direction OA' est au-dessous; cela tient à ce que le point x a été pris
T. et M 12
au-dessus de l'axe des quantités réelles; ce serait l'inverse s'il était au-dessous.
524. On reconnaît immédiatement que si deux nombres imaginaires sont représentés par deux points situés à l'intérieur d'un angle ayant pour sommet le point O, la somme de ces deux nombres sera représentée aussi par un point situé à l'intérieur du même angle; il en sera de même si l'on considère autant de nombres que l'on veut, tous représentés par des points situés à l'intérieur d'un même angle, et la même conclusion s'étend à une intégrale, qui est la limite d'une somme. On voit donc que l'intégrale définie X sera représentée par un point situé à l'intérieur de l'angle POA et l'intégrale définie X' par un point situé à l'intérieur de l'angle POA'; les parties réelles des deux nombres X, X' sont essentiellement positives; quant aux coefficients de t, ils sont de signes contraires; le premier est positif, le second négatif quand le coefficient de i dans x est positif, comme dans le cas de la figure ; c'est l'inverse quand x est situé au-dessous de l'axe des quantités réelles; les coefficienls de i dans X, X' ne sont nuls que si X est réel, positif, plus petit que un. Dans tous les cas, l'angle AOA', qui est la moitié de l'angle sous lequel on voit du point O le segment qui va du point i — x au point x est aigu; il en est de même, a fortiori, de l'angle intérieur à celui-là formé par les deux directions qui vont du point O aux points X, x', c'est-à-dire
de l'argument du rapport —• La partie réelle de ce rapport est donc positive : il en serait de même de la partie réelle du rapport inverse. On observera que l'argument de — » fixé comme nous l'avons fait, est, d'après ce qu'on vient de dire sur la position des points x', X, négatif si le point x est au-dessus de l'axe des quantités réelles, positif dans le cas contraire; en d'autres termes, les
coefficienls de i dans — et dans x sont de signes contraires. X °
Ceci posé, dans le plan (s), X et x' sont des fonctions univoques de X, d'après leur définition même. En chaque point du plan (5) ces fonctions sont régulières, c'est-à-dire que si l'on augmente x d'une quantité A, suffisamment petite en valeur absolue, les fonctions X et x' ainsi modifiées sont développables en séries entières
ON DONNE k^ OU g^, gi\ TROUVER T OU («),, (O3. . 179
en A (on donnera tout à l'heure les expressions de ces séries); elles sont donc des fonctions holomorphes de x dans le plan (s). Il en est de même du rapport - puisque x ne s'annule pas, non plus que sa partie réelle.
Reportons-nous maintenant à l'équation A'-(t) = x. D'après la
formule (XXXVlIe), A- est égal à — ^-; il est donc clair que si
l'on regarde x comme une variable, A""(x) sera une fonction holomorphe de t pour tous les points t situés au-dessus de l'axe des quantités réelles; or le rapport — est représenté par un tel point, tant que x appartient au plan (©); k-{x)^ quand on y regarde t comme égal à — , est donc une fonction (de fonction) holomorphe
de X ; or /f 2 / — j est égal à x quand x est réel compris entre o et i ;
donc enfin l'égalité A-^ / — j = x subsistera pour toutes les valeurs de X appartenant au plan (5).
o25. Nous avons obtenu une solution de l'équation en t, /»-2(':) = X, à savoir x = — ; nous nous proposons maintenant de les avoir toutes. Et d'abord, dès qu'il y a une solution, il est bien évident qu'il y en a une infinité; si a, ^, c, d sont quatre nombres entiers choisis parmi ceux qui satisfont aux conditions du cas i° du Tableau (XXc), on a, en efl'et, comme il résulte du Tableau (LXXX5) dans le cas i",
de sorte que, si «, d sont des entiers impairs et 6, c des entiers
pairs tels que l'on ait ad- — 6c = i , le nombre r— est, en même
temps que le nombre x, solution de l'équation /i^(x) ;= x. Mais n'y en a-t-il point d'autres?
Nous avons rappelé que la fonction y = sn(M | x) de u et de x vérifie l'équation différentielle (LXX,)
la fonction ^ = sn-(w I x) vérifie donc manifestement l'équation
l8o CALCUL INTÉGRAL.
différentielle
'dsV-
{^^J'=^^(^~^)[^-kH^)^]-
Il en résulte que, si Xt et T2 désignent deux solutions de l'équation A-2(t) = x, les deux fonctions sn2(M|T,), sn^(u\x2) de la variable u vérifieront nécessairement la même équation différentielle
\du)
mais alors ces deux fonctions sn'^{u \ t, ), sn-{u |T2)dela variable u sont nécessairement identiques. En effet, on sait que la fonction snM est développable en une série de la forme
au -+- bii^ -+- cu'i -H ... ;
la fonction sn^a sera donc développable en une série de la forme
or, comme il est bien aisé de le voir, l'équation différentielle précédente détermine sans ambiguïté les coefficients A, B, C, ... de ce développement en fonction de x seulement.
A la vérité, la démonstration ne s'applique que dans le domaine de convergence de la série en w^ ; mais, comme deux fonctions analytiques de u ne peuvent coïncider dans une portion du plan sans coïncider partout, notre assertion n'en est pas moins évidente.
Les deux fonctions s,n^{u |-, ), srî^{u \ T2) de la variable u étant identiques admettent évidemment les mêmes zéros : les nombres (*) 2m<K(T,) + 2m, îK'(x,) sont donc les mêmes dans leur ensemble que les nombres 2m2K(T2)+ '2.m'^i¥J{'Z2) en supposant que mi, m',, mo, m^ soient des entiers; c'est-à-dire que les nombres K(t<), i¥J{xi) doivent être équivalents aux nombres K(t2), iK'(T2); ils ne peuvent êti^e que proprement équivalents, puisque les coefficients de i dans les rapports
K(tO ^" K(T2) ^''
C) Voir Tome II, p. 285, fig. i.
ON DONNE A^ OU g^, ffs] TROUVER T OU W,, W3. -1 8 1
sont de même signe; en d'autres termes, il existe quatre entiers a, b^ c, d liés par la relation ad — bc = i, tels que l'on ait
K (T2)=:aK(Ti) + 6tK'(Ti),
D'ailleurs la fonction sn-(«|T2) devient infinie, ou égale à un, quand on suppose u égal à /K.'(-2), ou à K('72); il doit en être de même de la fonction sn-(M ji:,) qui est la même fonction de w que sn^(w I Ta), quand on y suppose u égal à cK(t, ) + c/i K'(t, ) ou à aK(x,) -j- biK'(i:t); on en conclut bien aisément, par les formules (LXXII), que c elb sont pairs, a et d impairs. Si t, est une solution de l'équation a: = ^'^i'^)-, toute solution de cette équation est donc de la forme
^ c -4- dzi
où a, b, c, d sont quatre nombres entiers qui satisfont aux conditions du cas i" du Tableau de formules relatives à la transformation linéaire. Or t, = — - est une telle solution; les nombres dé-
finis par la formule
ex -t- dix'
~ ax-hbi\'*
où a, b, c, d ont le sens que l'on vient de rappeler, et ceux-là seulement, vérifient donc {*) l'équation A-2(t) rr= x.
526. Cherchons maintenant toutes les fonctions analytiques de la variable x qui, mises à la place de t, changent identiquement X-(-) en X. Désignons par Xq une valeur de x où l'une des fonctions analytiques cherchées soit régulière; la valeur de cette
C) Si l'on demande seulement les nombres x qui vérifient réquation A:»(t) = x et pour lesquels la fonction sn ( m | t ) est la même fonction de u, en rejetant ceux pour lesquels la fonction sn(M | t) est remplacée par — sn(M | x), on voit aisément, en s'appuyant toujours sur les formules (LXXII), que ce sont les nombres de la forme
ex + dix'
' ~ ax-h bi\''
où a et d sont congrus à i, modulis 4? tandis que 6 et e sont des nombres pairs choisis parmi ceux pour lesquels on a ac? — 6c — i, et ceux-là seulement, qui répondent à la question. (Cf. Schwarz, Formules, p. 3i.)
l82 CALCUL INTÉGRAL.
fonction pour x = X(, peut être mise d'après ce qui précède sous la forme
cx(xa) -+- dix'i-Ao) " " ax(xo) -H 6jx.'(xo)'
oii a, b, c, cl sont des nombres déterminés choisis parmi ceux du cas i" du Tableau (XXc). La fonction de x
c\(y.)-i- dix' {y.) rtX(x) -I- bix'{y.)
se réduit à Xq, pour x = Xo, et vérifie identiquement l'équation /c2(-:)=:x. C'est la seule fonction de x, régulière en Xq, qui satisfasse à cette double condition; en effet, une telle fonction est entièrement déterminée, puisque l'équation /:-(t) =x détermine sans ambiguïté les valeurs, pour x =: xq, de toutes ses dérivées.
527. D'après ce qu'on a dit au n° 520, on obtient une solution des équations (a) en prenant une solution de l'équation x = A'^(t), par exemple la solution t = — ■■, en choisissant arbitrairement
une détermination de ^s, — £3, puis en faisant
71 2r§(o|T) '^ \/ei — £3 ou, ce qui revient au même,
on a alors, comme on l'a vu au même numéro,
«a = P(wal Wi, W3) = £a, y/ci — 63 ^ ^^ = v/^i - £3-
528. On peut sans peine déduire toutes les solutions des équations (a) d'une solution (0,, 0)3; en effet, une seconde solution iù\, (O3 conduirait à la même fonction pu que la solution w,, W3, puisque les deux fonctions vérifieraient la même équation différentielle et comporteraient les mêmes développements en série. Les deux fonctions p(u\ oit, 0)3), p(^u\iô\, w'j) étant identiques, les réseaux des parallélogrammes de périodes coïncident : on en conclut que les nombres io\^ tOg sont proprement ou impro-
ON DONNE fy- OU g^, ^3] TROUVER T OU W,, Ciy. 1 83
premenl équivalents aux nombres w,, W3 ; en d'autres termes, toutes les solutions des équations (a) sont données par les formules
,^viv ^ a\-hbi\' cx+di\'
(LAIX3) wi = — j a>3 = — — =- .
où a, b, c, r/sont des entiers assujettis à la condition ad — b€=^ i. Les fonctions analytiques de yaj Ys qwe définissent les formules précédentes sont d'ailleurs les seules qui, mises à la place de w,, 103 dans les seconds membres des équations (a) transforment ces équations en identités. Le problème proposé est donc résolu.
529. Revenons maintenant à l'équation A-(t) — x et à ce fait essentiel que, en supposant le point x dans le plan (S), elle se transforme en identité quand on y remplace t par -^; nous allons réunir ici quelques conséquences de cette proposition, conséquences qui nous serons utiles plus tard.
Tout d'abord on a, en attribuant à y/x, ^ « — ^x les significations qui ont été spécifiées au n** 523,
M-It)
en effet, pour chacune des deux égalités, les quatrièmes puissances des deux membres sont égales, en vertu de l'égalité
X = A"- ( — ] et, pour chacune des égalités, les seconds membres
sont, comme les premiers, positifs lorsque x est positif et plus petit que un; l'égalité, établie pour ces dernières valeurs de x, subsiste dans tout le plan (S), puisque les diverses fonctions que l'on considère sont holomorphes dans ce plan. On peut écrire encore
(cxix,) t/x ^ /^(f)' t/7^ ^ \/Kt') •
Des relations (XL,) on a déjà déduit au n" 173 la relation
JT7T—) ^ 1 — /^^) ^ 3r3(o|T)-2y,(o|T)
l84 CALCUL INTÉGRAL.
comme on vient de voir que, dans tout le plan (G), i/k' (— \ est égal à ^i — x, on a donc, dans tout le plan (G),
En se reportant à la formule (XXXVIl,), on en conclut l'égalité
OÙ, dans le second membre, on suppose que q = e'^''^' est remplacé
ZLi' par e * .
L'expression ^. -? qui est évidemment une fonction ho-
1+ VI ~"'^ lomorphe de x dans le plan (G), jouera un grand rôle dans les calculs numériques; nous la représenterons par p. Observons que sa valeur absolue est plus petite que i, car, la partie réelle de y/i — X étant positive, le point ^i — x est à une distance moindre du point I que du point — i, et le rapport de ces deux distances n'est autre chose que la valeur absolue de ^.
