On a de même

(GXIXe)

En effet, lorsque x est positif et plus petit que un, l'égalité X = A'2(t) entraîne les égalités

puisque K(t) et X, d'une part, K'(t) et X' de l'autre sont alors représentées parles mêmes intégrales définies; mais, quand on

regarde t comme égal à '^ , K.(t) et K'(t) sont, dans le plan (S),

ON DONNE A- OU g.^, g^; TROUVER T OU W,, &J3. j85

des fondions (de fondions) holomorphes de x; les égalités subsistent donc dans tout le plan (E).

De la relation

on déduit, en désignant par y/\ la racine carrée de X dont la partie réelle est positive, et par i - la racine carrée arithmétique

de -,

en effet, les deux membres qui sont des fonctions holomorphes de X dans le plan (S) sont positifs quand x est positif, plus petit (jue un. Cette égalité, jointe aux précédentes, donne les relations

(CXIX-i

d'où, à cause de la relation (XXXVI5),

531. La première formule (XL,) donne immédiatement, en tenant compte des formules (XXXV II2) et (LXXI3),

( K(4t)=^27Ko|4v)-|27;Ko|^;[i^-v/^V^'.?

[ =^^K(.)[■-^v'^TT)]■^

Voyons ce que devient cette égalité quand on y remplace t [jar -- j. X et x' étant les fonctions holomorphes précédemment définies de la variable x qui est assujettie à rester dans le plan (5). La fonction k^(':) se change alors en x; A2(4t) se change donc

(GXIX5) en

l86 CALCUL INTÉGRAL.

quantité qui, comme nous l'avons vu, est en valeur absolue plus petite que i. Désignons aussi par X| ce que devient X quand on j remplace X par X) : à la vérité x, peut être négatif et se trouver, par suite, sur une coupure du plan (S); X, n'en est pas moins défini puisque l'on a vu que la coupure pratiquée le long de l'axe des quantités négatives n'intéresse pas X qui est défini dans tout le plan (T).

Le dernier membre de l'égalité à transformer devient manifestement

Pour voir ce que devient le premier membre, plaçons-nous

d'abord dans le cas normal où - est réel et positif; x= k'^{'z) est

alors réel, positif et plus petit que i, et il en est de même de ^'> = k'^^^'z)] il est donc clair que dans le cas normal X, est égala K(4t) comme X est égal à K(-:). On a donc, dans ce cas, l'égalité

D'ailleurs, quand x reste dans (S), ,3^ reste dans (T) ; x, est donc une fonction (de fonction) holomorphe de x; il en est manifestement de même du second membre de l'égalité précédente; cette égalité subsiste donc pour toutes les valeurs de x qui appartiennent au plan (S).

En écrivant x(x) au lieu de X, c'est-à-dire en regardant X comme un signe fonctionnel indiquant une opération à effectuer sur le nombre x, on pourrait écrire le résultat précédent sous la forme

(GXIXg) X [fi^q^Yl ^ l x(x) (, -. yT~y,f.

En se rappelant que K'(4'r) est égal à 4fTR(4T) comme K'(-) est égal à iTK(^), on déduit de l'égalité (a), la suivante

En désignant par x'^ ce que devient x' quand on y remplace x par p% et en raisonnant comme tout à l'heure, on verrait que,

ON DONNE k^ OU g^i Si'-> TROUVER T OU COi, W3. -187

dans le cas normal où r est réel et positif, cette égalité devient, lorsqu'on y remplace x par — ,

mais cette égalité ne subsiste pas dans tout le plan (S) parce que la coupure le long de l'axe des quantités négatives intéresse l'intégrale x'.

532. Pour ce qui est de la solution des équations (a), où s,, £2, £3 sont les données, solution qui est fournie par les formules

\/£i — £3 y/si— £3

nous avons fixé arbitrairement la signification de \/zi — £3, sans

\U^ — £2, v/e2 — £3; convenons de prendre

y/ô,— £j= v/ei— £3 \/\—T^, ^£2 — Es ^ — \/^l—H /v- i

les radicaux y/e, — e^, sje^ — e-^ coïncideront alors respectivement avec les radicaux y/£, — £2, y/£2 — £3; on sait déjà que \^e^ — e^ coïncide avec y/s, — £3.

Choisissons pour y/£, — £3 celle des racines carrées de y'Si — £3 que l'on voudra, et prenons, en conservant pour yx la détermination spécifiée plus haut,

/~ (CXIXs) /c

à cause de la formule (XXXVI3), on aura alors y/e, — «3 = \J t\ — £3. Déterminons enfin les valeurs de \U^ —£2, v £2 —£3 P^r les conditions

(GXIX9) v/£i — £2 = v/^i— 63 v/i— X, v^£2 — £3 — t v/£i — £3 \f^,

et les valeurs de \Je\ — e<i, sje-i — e-^ coïncideront avec celles de v^Ei— £2, \/£2 — £3.

l88 CALCUL INTÉGRAL.