II. — Étude de l'intégrale / ^ — considérée
/ \/i— xsin^cp
do - X s
comme fonction de x.
533. Nous allons maintenant étudier de plus près les fonctions de X,
r^ d-z, , r^ do
/ y/i — xsin^cp J^ y/i — (1 — x)sin2çp
que nous désignerons aussi par x(x), x'(x) = x(i — x). Ces deux fonctions sont (n" 524) holomorphes dans le plan (S); la première est holomorphe dans le plan (T), la seconde dans le plan (T').
En supposant que x appartienne à (T) et que le cercle décrit du point X comme centre avec un rayon égal à [ /i | n'atteigne pas la coupure de (T), on peut écrire
v/l (x + /i).Sin2o , : / /îSin^CD
' V 1 — xsni-icp
en conservant à tous les radicaux le sens prescrit au n° 523; les deux membres sont, en effet, certainement égaux au signe près et les signes sont les mêmes pour les petites valeurs de h] l'égalité subsiste donc tant que les deux membres sont des fonctions holomorphes de h. En développant la quantité
/ /i si n 2 o \
\ I — X sin'^co/
par la formule du binôme, et en intégrant entre les limites o et -^ on trouve
xfx + //) = x(x) -;- - Ji /i -(- ^- J2A--I-...H ^l i: ■ J,,/i«+....
2 2.4 'i.^...:in
où l'on a posé
/2 sin2«cp do (i — xsin2cp) 2
ON DONNE A- OU g^, ^3; TROUVER T OU 0),, W3. 1 89
Il est aisé d'obtenir pour les intégrales J^ une formule de réduction. En intégrant entre o et - les deux membres de l'égalité
— [(I — y. sin^cp) - sin2»-»(p coscpj
— ' (2/i -t- i)x(i — X sin^cp) 2 sin2"c5(i — sin^cp)
-h {in --\) (i — xsin-oj - sin2«-2cp(i — sin^tp)
— (i — xsin^cc) - sin2«cp, on trouve
in2"cp do
/•2 sin2"cpcfc3
2 <;jfi2«— 2cp Û?C?
(•?.«- 1) / — ^ 2„ + i — (2n+i)xJ,t+i— (?^/? — i).I/,- J/>-
(i — xsin^o) 2
D'ailleurs, on reconnaît sans peine que les deux intégrales qui figurent dans le second membre sont respectivement égales à xJh+i + Jrt, y.J« -f- J//i j on en conclut l'égalité
Jo n'est autre chose que x; les fonctions suivantes J, , J2, J3, ... sont, à des facteurs numériques près, les dérivées successives de X; la relation précédente n'est donc pas autre chose qu'une relation linéaire entre trois dérivées consécutives de X; en particulier, si l'on suppose /i = i , on trouve que X vérifie l'équation différentielle du second ordre ( ' )
d^Y , .dy I
534. Cette équation ne change pas, comme on s'en assure immédiatement, quand on change x en i — x. Il en résulte que X'(x), qui n'est autre chose que x(i — x), vérifie aussi l'équation (y).
(') M. L. Fuchs {Crelle, t. 71, p. 91) a le premier appliqué les propriétés des équations différentielles linéaires à J'étude des modules de périodicité des fonctions hypereliiptiques, et, en particulier, à l'étude de la fonction que nous désignons par X.
igO CALCUL INTÉGRAL.
Le fait que cette équation (y) ne change pas quand on y change x en I — X n'est pas isolé; elle ne change pas non plus quand on
change x en - ou en — — et y en j'y/x, ou encore quand on change x en - — — ou en — - et v en yJ i — x.
Si, par exemple, en désignant par y, une fonction de la variable X(, on pose
x,= — ^-, .ri=rv/i — >^,
y sera une fonction de x qui s'obtiendra en remplaçant x, par J
dans j', et en divisant le résultat par y/i — ^x; on aura dans ces conditions
puis
^^iTr->;(x-i)['x(x--i)g + (2x-T)^ + -i.r]'
et l'on voit ainsi que, si la fonction y^ :=f(^jct) annule identiquement le premier membre, la fonction
annulera identiquement le second. C'est la proposition annoncée dans l'un des cas.
533. Quoique cette vérification suffise à notre objet essentiel, nous voulons indiquer l'origine des propriétés de cette nature.
Observons d'abord que, si l'on regarde x comme l'une quelconque des fonction^ analytiques de x définies par l'équation ([3), x = X:2('t), les fonctions K(t), K'(Tr) regardées comme des fonctions de X, vérifient l'équation (y) : en effet, ces fonctions sont (n° 525) des combinaisons linéaires à coefficients constants de X, x'.
ON DONNE A^ OU ^'^2) o 3 > TROUVER T OU COi, CO3. I91
Considérons maintenant, outre l'équation ([3), l'équation
cL supposons que - et t, soient des fonctions analytiques ^(x), A'i (x») qui vérifient ces équations; les fonctions K(x), K'^t) d'une part, les fonctions K(t,), K.'(t,) de l'autre vérifieront respectivement l'équation (y) et l'équation
d'^Vi , dY\ I
Si, maintenant, en désignant par a, ^, y, o quatre nombres entiers dont le déterminant ao — ^y soit positif, on établit entre x et T) la relation
cela revient à établir une relation entre x et x, , à savoir
nous représenterons, pour abréger, ces relations par x, r^y(x), X = F(x, ), On a d'ailleurs
K(xi) """^'^ aK(T)-t-piK'(x)'
et, par suite, en désignant par z une fonction convenable de t, on
peut poser
K(x,)^ ^[aK(x)-hPiK'(x)J,
K'(x,)-|[YK(T)-i-8.-K'(x)J;
il résulte de là que les quantités ^K('û), 5K'(t), qui sont évidemment des combinaisons linéaires à coefficients constants de K(t)), K.'(t,), si l'on y regarde t comme égal à^[F(x,)], vérifieront l'équation (yi); en d'autres termes si, dans cette équation, on commence par faire le changement de variable et de fonction défini par les relations
yx=^zy, x,=/(x),
où dans 5, t doit être remplacé par ^(x), elle se transformera en
une nouveJle équation du second ordre qui admettra les mêmes solutions K(t), K'(t) que l'équation (y); la transformée sera donc identique à cette équation (y). Cela revient à dire que l'équation (y) se change en elle-même quand on y change x en f (^v.) , y en zy . Or, si l'on suppose que les entiers a, (3, y, S vérifient la relation aS — Py = I, on trouvera dans le Tableau (LXXX5), suivant les six cas possibles, que la fonction /(x) peut avoir les six
formes x, > -» > i — x, — — , auxquels correspondent,
'x — IXI— X 'x ^ ^ '
d'après les formules (LXXXg^,), les valeurs de z données par la formule ^=vvj c'est-à-dire i, y/i — x, y/x, y/i — x, i,\/y.. Onn'a pas tenu compte pour écrire ces dernières valeurs du facteur ( — i) qui figure dans les cas 4° et 5", ce facteur n'oflVant aucun intérêt, puisque toute solution d'une équation linéaire peut être multipliée par une constante arbitraire.
On obtient ainsi les résultats mêmes que nous avions annoncés et dont le lien avec la théorie de la transformation linéaire apparaît clairement.
On voit de la même façon, en se reportant au n" 531, que l'équation (yj) se change dans l'équation (y) quand on y fait le changement de variable et de fonction défini par les formules
(') C'est maintenant un problème qui se pose naturellement que de chercher à déterminer les fonctions z et / de x, telles que l'équation (yj se change dans l'équation (y) quand on y fait le changement de variable et de fonction défini par les équations
Nous nous bornerons aux indications suivantes :
En désignant par des accents les dérivées prises par rapport à x, on trouve immédiatement les conditions
la première donne, en intégrant,
C est la constante d'intégration. En portant cette valeur de z dans la seconde
ON DONNE A- OU g.,, g^', TROUVER T OU COi, 0)3. -igS
Observons aussi que l'équalion différentielle (y) appartient au l^pe de l'équation, étudiée par Gauss, que vérifie la série hjperj^éomélrique (' )
dans le cas où l'on suppose a :^" |j =:^ - 7 y z=i i . A ce point de
vue, les propriétés relatives au clianjrement de x en — — ? -> ' I r o .^ — I y.
- , IX, —y — ne sont que l'application à ce cas particulier de
propriétés connues de celte équation.
o36. Nous allons chercher la solution générale de l'équation dilTérentielle (y). D'après les principes que nous avons rappelés dans l'Introduction, on sait que, si l'on considère un point Xq, autre que les points 0,1, il existe une fonction de x, vérifiant l'é- (juation différentielle (y), l'onction qui est holomorphe dans toute aire limitée par un contour simple ne contenant ni le point o, ni le point 1, qui, enfin, si l'on se donne deux nombres arbi-
l'ciualion, on liouve, pour déterminery, l'équalion ditFérentielle du troisième ordre
en remettant x, à la place de / et en ne spécifiant plus la variable indépendante, cette équation se met sous la forme
2 d% f/x, ( (/' X, df. — d/.^ rf' -x ) - 3 ( d' x, dt. — df.^d'%) ( d" x, f/x -••- c/x, d' x )
-T- ax? ax» I -,—,- - — ,— ax: — -, — ; -— ax' — o.
K'tî— *J (x^— x)^ J
En remplaçant respectivement x, x, par A-', l', on met cette équation sous la forme que lui a donnée Jacobi
2 ^ A" dl dk {dld'k - dk dH) - 3 k' l' ( dl d' k ^ dk d' l) {dl d' k -+- dk d' l )
-'"■^■[(fr^)'"<''=-(r^)'*-'"'] «•
On n'aurait aucune peine à former aussi l'équation différentielle que vérifie z. Le lecteur reconnaîtra sans difficulté que c'est l'équation diflerentielle du troisième ordre que doit vérifier le quotient de deux solutions quelconques de l'é- (juation (y).
(') Voir, par exemple, la Thèse de M Goursat [Annales de l'École Normale supérieure, i!^8i : supplément au tome X).
T. et M. III. i3
Iraires jKo) JKÔ se réduit à jKo pourx ^x^, tandis que sa dérivée, au même point, est égale ày„.
D'après cela, si Xo appartient au plan (E), il y aura une solution , de l'équation différenlielJe (y), liolomorphe dans ce plan, qui, pour x = Xo, se réduira, ainsi que sa dérivée, à des valeurs arbitrairement prescrites : si ces valeurs sont celles que prennent, pour X = Xo, la fonction X et sa dérivée, ou la fonction x' et sa dérivée, cette solution liolomorphe dans le plan (5) ne sera autre que la fonction X, ou la fonction x'.
Nous désignerons, dans ce qui suit, par Co, C, les cercles de rajon un décrits des points o, i comme centres, par D leur corde commune; par (Co), (Ci) les régions intérieures, par (C'^), (C\) les régions extérieures aux cercles Co, C,, par (Do), (D,)les deux demi-plans, séparés par la droite D, qui contiennent respectivement les points o, i; puis par(CoC,)]a région commune aux deux régions (Co), (Cj); par (CoC,Do) les régions communes aux trois régions (Co), (C, ), (Do) ; ....
Si l'on cherche à vérifier l'équation différentielle (y) par une série de la forme «o -r «^ç, x -h «2'^" + • • -H- a«x" H- . , . , on trouve de suite, en substituant, puis égalant à o le coefficient de x"~', la relation
On en conclut que, si l'on pose
la somme de la série
(GXXi ) X(x) = «0-1- «ix -H. . .-+- a„x'»-t- . , . ,
dont le cercle de convergence est manifestement (Co), vérifiera l'équation différentielle (y). On voit de plus que toute solution de cette équation, holomorphe dans (Co), se réduit à la fonction X(x) multipliée par une constante.
On trouve une seconde solution de l'équation différentielle (y), en posant
y = 4[A(x)4-X(-/.)logx;
a(x) est une fonction inconnue que l'on va déterminer tout à
ON DONNE A- OU g^,, gi\ TROUVER T OU W,, W3. igS
l'heure; les théories de M. Fuchs sur les équations difierentielles permettent de prévoir que la fonction tJi.(x) sera holomorphe dans (C,)); quant au coefficient 4 il a été simplement introduit pour la commodité des calculs. Quoi qu'il en soit, en portant la précédente valeur dans l'équation différentielle (y) et en tenant < (Mupte de ce que X(x) est une solution de cette équation, on trouve immédiatement, pour déterminer u.(x), la relation
( y' ) 4 x(y. — I ) ix"i:/.) — 4(1 — ■)■■/.) i^'C''-) -^- [^ W = — 2(-/. — i) X'(x) -- \ (x).
Si l'on essaie de satisfaire à cette relation par une série entière <le la forme «o^^'o + <^i ^i >' + • • • H- ««^«x" + . . , , oii les «« sont les coefficients déjà définis, que l'on introduit ici en vue de réductions ultérieures, on trouve, en égalant dans les deux membres les coefficients de x"~', la relation
•X II — i }.n ^ -^ '
nti en conclut que si l'on pose
I I 1 r II
On = n, yi — I 1 . . . , 0,1 — i -H - — - -t- ... H- j
la somme de la série
CXXi) l-'-i'^') = aibiY. ■+- a.ibiY^-\-. . .-t- a ,ib ,1'/-'^ -\- . . .,
dont le cercle de convergence est évidemment (Cq), vérifiera l'équation différentielle (y).
On voit donc que toute solution de l'équation différentielle (y), en particulier les fonctions X, x', pourra dans (Go) se mettre sous la forme
(GXXi) A X(7.)-+- B[4 [jl(x) -t- ),(■/.) logx],
en désignant par A, B des constantes convenables.
537. Avant d'aller plus loin, nous étudierons de plus près les fonctions )^(x), [J.(x) de manière à obtenir des valeurs approchées de ces fonctions, en supposant |xj <^ i.
La formule de Wallis fournit, pour tout entier positif «, les
196 CALCUL INTÉGKAL.
inégalités ( ')
( 2 /i -i- I ) TT "" " -in-
On pourra donc poser
i. Il •>. Il ■+- 1
et l'on aura l'égalité
(GXX3) X(x) -1+^2 7i'" -'(■'^^ - .- -^iog(i--/0-^(-'^),
OÙ e(x) est une série entière en x, à coefficients tous positifs, que l'on peut écrire sons la forme
etdont la somme est, par conséquent, moindre en valeurabsolueque
I X 1 ^ - (— ' -- ) --= I X ] - ( I - - log2 ) :
en se reportant à la valeur 0,693147... du logarithme naturel de 2, on voit que l'on a
Posons de même
6„=^ log2— £'„, o<^',^< --;
(') En faisant a; = - dans la formule ( I, ), on trouve de suite
où l'on a posé
( 2M + l)=(2« + 3)-. ..(2M + 2A- — l)" ( 2« -4- 2A- + I) * *^ ( 2 71 + 2 )^ ( 2 rt + /| )" . . . ( a /( -f- 2 /r )»
On a d'ailleurs, pour tout entier positif k, ''-— - ' i, — - > r.
ON DONNE A- OU g^, gi\ TROUVER T OU W,, W3. 197
r égal i lé
«•iitraîne la suivante
(CXXs) f;,(x) =. '•'-^-î l0g(l x)- 7)(X),
où T, (x) = \] "^.«x" est une série entière en x dont les coefficients
>()nt tous positifs; on a d'ailleurs
U(«):<im2(J;*^"*"!
cl des inégalités
£'„ ^ / I I \ j ^ -yAo^T. / I 1 \
n ^ \ 9- n 2 « 4- I / « « -- ^ \^ ,j^ ^ in -!- i /
on déduit ensuite
I Tl(x) ; < ! X 1 |(l — l0g2) (l — l0g2) < I I 5C |.
Ces expressions fournissent des valeurs d'autant plus approchées de )^(x), |ji.(x) que la quantité |x| est plus petite. On observera d'ailleurs que
qui est la seule fonction dont dépendent les expressions approchées de X(x) et de {Ji.(x), est une fonction liolomorphe de x dans (Co); le coefficient de i dans cette fonction est de signe contraire
à celui de i dans x ; il est compris entre et - •
La partie réelle de a(x) s'obtient en retranchant la partie réelle de £(x), qui est moindre en valeur absolue que 7^, de la partie
réelle de i log(', — 5^)? quantité qui dans (Co) est toujours
supérieure à 1 ~ ou à ^jj ; cette partie réelle est donc plus
igS CALCUL INTÉGIIAL.
grande que |; elle ne s'annule donc pas dans (Co), non plus que X(x). On trouverait sans peine que le coefficient de i dans \{y.) est moindre, en valeur absolue, que j^^ Le coefficient de i est moindre en valeur absolue que |^ dans yj(x) et que ^ dans jj.(x).
le
