Puisque X(x) ne s'annule pas, le rapport —^t est, dans

cercle (Co), développable en une série entière en x; il importe de démontrer que les coefficients de cette série sont tous positifs, qu'elle reste convergente pour x r— i et que sa somme est alors égale à loga.

Tout d'abord, des équations dififérenti elles que vérifient à(x), [ji.(x), équations qui peuvent s'écrire

4^-[(x-.)xX'(x)]a-X(x):-0,

4^[(>'.-i)-/ia'(x)] + ia(x)--2(x-i)V(-/.)-X(x), on tire aisément

puis, en intégrant entre les limites o et x, et en divisant par

dY.l{Y.) X ' X(l — x) X"''(X)

Cette égalité montre, en passant, que, si x augmente par valeurs réelles de o à i, ^— — va toujours en augmentant; en effet, on a, dans ces conditions,

puisque le coefficient de x" dans le développement de à(x) est lo carré du coefficient de x" dans le développement de > coeffi-

cient qui est moindre que un : la dérivée du rapport y—^ est donc positive; ce rapport croît de o à loga, limite vers laquelle il tend

ON DONNE k"^ OU g^, gs', TROUVER T OU Wj, 0)3. 199

quand x tend vers i, comme il résulte immédiatement des valeurs approchées de À(x), [J(.(x).

L'égalité (s) montre que le développement de yy — s'obtiendrait aisément si l'on avait celui de v ; cherchons d'abord celui de

À^(x). En formant l'équation différentielle linéaire que vérifient les carrés des solutions de l'équation (y), on trouve sans peine

et, si l'on cherche à vérifier cette équation par une solution de hi forme aoH- a, x H- ajX^ >- . . . , on obtient aisément la relation récurrente

{n -4-i)3(a„4-i — a„) = rt3(a„- - a„ -, ) — - (i/i -f- i)a„,

qui, avec les conditions ao- i, a, =^ -> détermine complètement les coefficients a„ du développement de ^-(x). Tous ces coefficients sont manifestement positifs, et l'équation récurrente montre, en raisonnant par induction, qu'ils vont en décroissant; il en résulte que la fonction

est de la forme i — ^,x — ^ox^- • • i tous les coefficients [3,, jiia, - . . étant positifs. Si l'on se reporte à la valeur approchée de }v(x), on voit que, lorsque x tend vers un, (i — x)).-(x) tend vers o; il faut donc, lorsque x tend vers un par des valeurs positives, que j^ix-i- ^2^^-}- . - . tende vers un, ce qui, puisque tous les ^ sont positifs, ne peut avoir lieu sans que la série ^i h ^a-i--soit convergente et ait une somme égale à un. Il en résulte que pour tout point de (Co) la valeur absolue de pjx 4- [âaX^H- . . . est moindre que un, et l'on peut écrire

i-i- >.(B,x-32xM-...)";

le second membre est développable en une série à coefficients positifs; il en est de même de 4 -7- I; — ■ et do r~— ; mais, quand

X tend vers i, ce dernier rapport tend vers log:^ ; il faut donc que la série qui le représente soit convergente pour x —^ i, et ait une somme égale àlog2.

Tous les coefficients de la série qui représente i- — sont évidemment rationnels.

539. Puisque l'équation différentielle (y) ne change pas quand on change x en i — x, il est clair que, dans le cercle (G,), elle admettra les solutions

X(l - x), 4 (Jl(l — x) -t- X(i— x)log(i — x).

Les deux cercles (Co), (Gj) ont une partie commune (GqGi), qui appartient tout entière au plan (©). Nous adopterons, pour cette région, les déterminations de logx, log(i — x) qui ont été précisées au n° 523; en particulier, si x est réel (compris entre o et i) les logarithmes seront réels. Dans cette même région les solutions qu'on vient d'indiquer doivent être des fonctions linéaires à coefficients constants des solutions )v(x), 4 l>-{'^/ + ^('^) ^o?'^ ^"' conviennent à la même région, c'est-à-dire qu'on doit avoir, en désignant par A, B, A', B' des constantes,

j X(i-x)-AX(x)-^B[4i-t(x)-+-X(x)logxJ,

j 4 1^(1 -xj ,- X(i ^- X) log(. -x) -- A' X(x) -4- B'[4 .a(x) -^ X(x) logx].

Nous déterminerons ces constantes en supposant x réel. En remplaçant, dans ces identités, X(x), iJi.(x), X(i — x), !j.(i - x) par les expressions du n" 537, elles prennent la forme

B^ -j logx "V" '*'S( ' - x; -- a(x) .= o,

r,, 4l0g2\, A'-t-4B'Iog2 -- TT , , ^ 0/ s

B'^ - — ^-- logx 2^- - - log(i — x) +- p(x) --t= O,

-71/ -Il

oîi a(x) et [3(x) désignent des fonctions de x dont les valeurs absolues restent inférieures à des nombres fixes quand x s'approche de o ou de i, comme il est aisé de le voir en se reportant aux limites obtenues au n° 537 pour £(x), Ti(x) et en observant que xiogx tend vers o avec x et que logxlog(i — x) tend vers o quand x tend vers o ou vers i .

ON DONNE A- OU g.,, g^; TROLVER T OU OJ,, Wj. 20I

Il est clair alors, en faisant tendre x successivement vers o ou vers i, que les dernières égalités ne peuvent subsister sans que les coefficients de logx, log(i — x) soient nuls; on a ainsi quatre ('■quations pour déterminer les constantes A, B, A', B', et l'on trouve

j^,^i6^1og^.-^^^ 3,^4j.og.^ AB'-A'B=^i.

On pourra, si l'on veut, résoudre les équations (J^) par rapport à ).(x\ 4 !^('^) f- ^ (>^) logx; on obtiendra immédiatement le résultat en changeant dans ces équations mêmes x en i — x.

Ces équations sont valables tant que x reste dans la région (CoC,V, dans le cercle (Co), en dehors du cercle (C,), les fonctions X(i — x), [jl(i — x) n'ont pas de sens. Si l'on adoptait dans le cercle (Co), oiî les fonctions )v(x), [J>.(x) ont une signification précise, comme définition des fonctions A(i — x), ul(i — x) la signification qui résulterait des équations {"C,) elles-mêmes, on ne ferait que continuer ces fonctions en dehors du cercle de conveigence (C() des séries qui les définissent (n°^ 51-52).

540. Les formules précédentes nous fournissent de nouvelles expressions des fonctions X, x'. En effet, X étant une fonction holomorphe dans le cercle ( Cq) ne peut différer que par un facteur

constant de ^(x) ; pour x -- o, X est égal à - j >>( x) à i ; on a donc

(CXX, ) x(x) := -X(x).

D'ailleurs x'(x) est égal à x(i. — x)ou à -X(i — x); on a donc, dans la région (CoCi ),

( CXX,, ) x'(x) - - ^ [4 H^(x) - X(x) log ^^ .

Cette dernière formule n'est établie que pour la région (CqC,); mais elle subsiste tant que les deux membres sont holomorphes, c'est-à-dire dans toute la région du cercle (C») qui fait partie du plan (5), ou encore dans le cercle (Cq), lorsqu'on j a pratiqué la

coupure qui va du point o au point — i ; log-^ a sa valeur principale.

541. La propriété qu'a l'équation (y) de se reproduire dans les conditions qui ont été spécifiées au n° 534 permet de même de déduire des solutions )^(x), 4 [^(î*) + ^(>t)logx, valables dans le cercle (Co), d'autres solutionsyalables dans les régions (Do), (C,). (C'„), (D,), et il sera aisé de relier deux de ces diverses solutions en les comparant entre elles dans une région où toutes deux sont valables. 11 nous suffira de considérer les régions (Dq) et (DoCo) qui comprennent le point o.

La région (Do) est caractérisée par la condition ^^ 1 •< i; il

résulte d'ailleurs du n° 534 que l'équation (y) admet dans cette région les solutions