XI/ ° X I J

La première fonction est régulière au point o; en ce point elle est égale à I, si l'on adopte pour le radical la détermination qui se réduit à i pour y. r-z o. On a donc, aux environs de >t r:^ o,

puisqu'une solution de l'équation (y), régulière au point o, ne peut différer de X(x) que par un facteur constant (n" 536). Cette égalité subsistera dans toute la région (Go Do) où les deux membres sont holomorphes.

Quant à la seconde solution, nous la remplacerons par la fonction

qui n'en diffère que d'un certain nombre impair de fois / ^ ( ~T:r~ ) ' ^^ ^^"» P^'^ conséquent, vérifie aussi l'équa-

tion (y). Dans la moitié du plan (S) qui fait partie de la région (Dq), F(x) sera une fonction holomorphe de x, en adoptant pour

ON DONNE k"- OU gi, gs', TROUVER Z OU Wj, W3. 2o3

\og -— et y/^i — X les valeurs (principales) spécifiées au n" 523.

Envisageons, dans la région (CqDo), modifiée parla coupure du

plan (5), la solution F(x) — 4 ^{^) — X(x)logxde l'équation (y). On a

.[^x(^^).og->^X(x).o,x]; le second membre, si l'on tient compte des égalités

X(x)=. —A=^l(-^^), log — — -logx-log(i-x),

se réduit à

4vvbK.-'^)~H

X(x)log(i— x);

cette quantité est donc une solution de l'équation (y) : elle est régulière au point o, s'annule en ce point; elle est donc identiquement nulle dans la région (GqDo). Par suite, dans la région (CqDo), modifiée par la coupure du plan (5), on a

Les deux équations (r,) permettent d'exprimer les fonctions yj- ]■> |J. ( — ' — ] au mojen des fonctions ^(x), [Ji.(x), ou inversement,etde continuerles premières fonctions dans tout le cercle (Go), ou les fonctions )v(x), [Ji.(x) dans toute la région (D„), à l'ex ception des coupures. Il est aisé d'en conclure d'autres formules

de passage, en changeant y. en i — x, puis x en -; mais nous nous

bornerons à établir les formules de ce genre, pour les fonctions

\(x), x'(x), qui sont notre objet essentiel.

542. Observons d'abord que, si l'on veut, par exemple, relier les fonctions x(x), x'(x) aux fonctions X ( -^ ), ^'(~zr~)' '^ ^°"" vient de rester dans une région oii toutes ces fonctions sont holomorphes : les deux premières sont holomorphes quand le point x

20a CALCUL INTÉGRAL.

reste dans le plan (G) ; les deux secondes, quand le point ^-^— reste

dans ce même plan: les quatre fonctions seront donc holomorphes si l'on assujettit le pointx à rester soit au-dessus, soit au-dessous

de l'axe des quantités réelles : car alors - "— sera imaginaire

comme x; mais, si x était réel compris entre o et i, serait

réel, négatif, donc figuré par un point situé sur une coupure de (g). La même observation s'applique aux nombres -,- —5 1 — x,

: si X reste soit au-dessus, soit au-dessous de l'axe des quan-

ti tés réelles, les fonctions x(x), X (—'^), ^(r\ x(^^— ), x(i — x),

X( )î x'(x) ^'{~~ t) resteront toutes holomorphes. TI

convient d'observer encore que le coefficient de i a le même signe dans x, et et un signe contraire à celui-là dans

543. Nous conviendrons, dans toutes les formules qui suivent et qui comportent un double signe, de prendre le signe supérieur ou le signe inférieur suivant que le point x est situé au-dessus ou au-dessous de l'axe des quantités réelles. Supposons d'abord que le point X appartienne à la région (CqDo) ; on aura alors, en appliquant les formules (CXX^),

dans le second membre de la dernière équation le logarithme a sa valeur principale; on a d'ailleurs (n° 523)

^ 16(1 — X) ^ ib(x — I)

suivant que le coefficient de i dans ;- est positif ou négatif,

ou, si l'on veut, suivant que le coefficient de i dans x est positif

ON DONNE k- OU g^, gi', TROUVER T OU W,, W3. . 2o5

OU négatif : on a donc, en tenant compte des relations (t^V

d'où enfin, en appliquant encore une fois les formules (GXXo),

X. {-:zz~) "^ /i— ■'txCx), ^' ( rzr-) ~ y/i -^[x'(x) ± jx(x i].

Les deux formules auxquelles nous parvenons ainsi, ne sont établies que dans la région (CoDo); mais elles sont valables tant que les divers membres restent holomorplies, c'est-à-dire tant que le point X reste soit au-dessus, soit au-dessous de l'axe des quantités réelles.

Si, dans ces formules, on change x en i — x, et si l'on n'oublie pas que les coefficients de î dans x et dans i — x sont de signes contraires, on trouve

x (-~- ) = v^xd— x) -. /xx'(x), On a d'ailleurs

Finalement, on obtient le Tableau de formules qui suit, où la signification du double signe a été précisée plus haut,

(cxx.) ! ^'(r-7) - '^ (r--^.) - v/r--x[x'(x)±.-x(x)j, ^('-i^)-^'(x) -v/-'(x),

544. Il est bien aisé de conclure de ces formules que le coeffi-

x'(y.) cient de i dans le rapporl —y— est toujours compris entre — i et

4- 1 . Plaçons-nous, en effet, dans le cas où le coefficient de i dans x est positif. On tire alors des formules (CXX/, )

d'ailleurs le coefficient de i sera négatif dans — '— ; mais (n" 524)

le coefficient de i est toujours de signe contraire dans x et — ; il

\'(v.) sera donc négatif dans '—- — - et positif dans le premier membre. Il

faut donc que le coefficient de i dans ' " ■ soit compris entre — i

et o. On verrait de même qu'il est compris entre o et i, lorsque le coefficient de i dans x est négatif. On voit encore qu'il n'est jamais nul, sauf dans le cas où x est réel, compris entre o et i (').

545. Lorsque le point x en restant dans le plan (G) s'approche d'un point déterminé d'une coupure, aulre que le point o ou le point I, X et x' tendent vers des limites déterminées, puisque ce sont des solutions de l'équation différentielle (y), lesquelles peuvent toujours être continuées le long d'un chemin déterminé quelconque ne passant ni par le point o ni par le point i. Ces limites apparaissent d'ailleurs immédiatement sur les formules (CXX^).

Supposons, par exemple, que le point x s'approche d'un point X| de la coupure de droite, en restant dans la partie supérieure du plan (5); on aura

"■''■'->- vi^'y^)

( ' ) Dans le même ordre d'idées, il est aisé de démontrer le théorème suivant : Le parallélogramme dont les côtés sont respectivement o, x, x+ ix', ix' est décomposé en deux triangles acutangles par la diagonale qui joint les deux sommets X, i\' si le coefficient de i dans x est positif, par la diagonale qui joint les deux sommets o, x + tx', si le coefficient de i dans x est négatif; lorsque x est positif, compris entre o et i, le parallélogramme est un rectangle.

ON DONNE k^ OU g-^y g^; TROUVER T OU W,, W3. 207

Les fonctions X(-)i ^^'(r) sont continues quand x s'approche de X, et tendent vers des valeurs réelles et positives x( — j) \' ( ) ; -7^ tend vers la valeur réelle et positive -, , et l'on a

lim[x(x)] = J^ [x i'-\^^iy^(}-\V

lim[x'(x)j = -^^'=x'(i-).

Rien n'empêche de regarder ces limites comme étant les valeurs (le x(x, ), x'(x|) qui n'ont pas encore été définies; les fonctions \(x), x'(x) sont alors définies sur le bord supérieur Aç, la coupure (jui va du point i à + oo, en suivant l'axe des quantités positives;

Va partie réelle du rapport est encore positive, puisque

\ ( — j et x' ( — j sont positifs et la continuité montre que l'équation en T, ^'-(tJ^^Xi, est encore vérifiée quand on suppose

?-X'(Xi)

'~ x(xO"

On peut, si l'on veut, modifier la définition du plan (s), de manière à faire rentrer dans ce plan le bord supérieur de la coupure de droite^ mais on n'y fera pas rentrer le bord inférieur de manière que les fonctions x'(x), x(x) soient univoques dans tout le plan (s).

On voit alors, sur les deux dernières formules (GXX,), que ^i X tend vers le point x, en restant dans la moitié inférieure du [)]an, x(x) et x'(x) tendent vers les limites

-"^xY - ) =X.'(X).

v/xi V^iJ

La coupure de droite devient ainsi une ligne de discontinuité.

Les mêmes observations s'appliquent à la coupure de gauche, relative aux valeurs négatives de x; mais, pour conserver la symétrie du plan ( g) par rapport au point -, il convient de définir les

208 CALCUL IM'ÉGRAL.

fonctions x(x), x'(x), quand x s'approche du poini y..y de la coupure en restant dans la partie inférieure du plan; en sorte que pour cette coupure, c'est sur le bord inférieur que les fonctions seront définies, par exemple, par les formules

^■<->=7r':T,KT.^)--(7-^)]-

On fera encore rentrer le bord inférieur de la coupure de gauche dans le plan (S). On voit alors que, si x tend vers le point x^ en restant dans la moitié supérieure du plan, x(x) etx'(x) tendent vers les limites

La coupure de gauche devient donc, elle aussi, ligne de discontinuité. Les propriétés établies pour l'ancien plan coupé (s) subsistent après les modifications qu'on lui a fait subir et qui permettent de regarder les fonctions X, x' comme définies partout, sauf aux points o et i .

Les formules ((^XX/,) subsistent d'ailleurs pour toutes les valeurs de x, autres que o et i ; lorsque x est réel, il faut toutefois faire attention, pour les formules qui comportent un double signe, à prendre le signe supérieur ou inférieur suivant que x est positif ou négatif et à regarder, quand x est négatif, y x comme égal à — i\\j — xj, et quand x est positif, plus grand que un, y/i — x comme égal à — /] y/'x— i | .

o46. Nous allons maintenant envisagerles fonctions analytiques de X que l'on obtient en continuant les séries entières qui, aux environs d'un point x,, du plan (G) non complété, coïncident avec les développements dex(x) et de x'(x).

On voit sur l'équation différentielle (y) que l'on peut continuer ces séries de proche en pro.che le long d'un chemin quelconque

ON DONNE A' OU g^y g^', TROUVER T OU COt, W3. . 209

ne passant ni par le point o ni par le point i , mais traversant un nombre quelconque de fois les deux coupures.

Les fonctions ainsi continuées n'offrent plus, comme x(x) et \'(x), des discontinuités quand on traverse une des coupures, mais ce ne sont plus des fonctions univoques dex et elles ne coïncident plus en général avec x(x) et x'(x).

Pour les comparer aux fonctions univoques x(x) et x'(x), considérons d'abord deux fonctions Y et i\' de la variable x qui, aux environs d'un point Xq situé en dehors des coupures, admettent les mêmes développements en série entière, en x — Xo, que les fonctions aX+ ^fx', yX-h 5fX', oui a, ^, y, 8 désignent quatre constantes réelles dont le déterminant «8 — [Sy ne soit pas nul. Fixons un chemin quelconque (R) partant du point Xq et ne passant ni par le point o ni par le point i ; les fonctions Y, tv', étant comme les fonctions X, tx' des solutions de l'équation différentielle (y) pourront être continuées tout le long du chemin (R). Tant que ce chemin ne rencontrera aucune des deux coupures, elles ne cesseront pas de coïncider avec les fonctions aX+jBiX', yX-hB/x'; il résulte de l'étude que l'on vient de faire de la discontinuité des fonctions X, x', quand on traverse la coupure o. . . — 00, que Y et i\' coïncident respectivement, après qu'on a traversé cette coupure, avec

f ï'= (y ± -20) X -T- otx',

oii il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que l'on traverse la coupure en allant du haut du plan vers le bas, ou du bas du plan vers le haut; de même, Y et i\' , après que l'on a traversé la coupure i...-|-oo, prennent respectivement les valeurs

ax-i- (P q=2a) tx', Y^-^(° ^=2Y) tx',

où il faut prendre les signes supérieurs ou inférieurs suivant que l'on traverse la coupure de bas en haut ou de haut en bas. Par conséquent, en un point quelconque x, du chemin (R) les fonctions Y, i\' peuvent être représentées par des expressions telles que «X + biyJ , c\.-\- dix', où l'on rappelle encore que X, x' sont des fonctions univoques et où les coefficients rt, 6, c, d^ dont le T. et M. - III. i4

déterminant ad—bc est égal à a8 — [iy, dépendent de a, p, y, ô et de la façon dont on a traversé les coupures; les différences a — a, 6— [3, c — Y, d — 5 sont des fonctions linéaires de a, ^, y, 5 dont les coefficients sont des entiers pairs.

547. Si l'on voulait se replacer au point de vue des n"' 147, 148, 149 et envisager a, ^, y, o comme les coefficients d'une substitution

permettant de passer des nombres X, i\' aux nombres Y, îy', on pourrait dire que l'efTet du passage par une coupure consiste à multiplier la substitution S par l'une ou l'autre des substitutions

T*2^ Yq:2 (j^i n° 148; en sorte que la substitution (^ A s'obtient

en multipliant S par un produit de puissances paires, positives ou négatives, des substitutions T, S. Un tel produit est évidemment une substitution linéaire appartenant au premier des six types du Tableau (XXc). Réciproquement ('), toute substitution linéaire

( ^j ou ( ^ ■> ) appartenant au tjpe i"du Tableau (XXq)

est un produit de puissances paires de substitutions T et V. En oflPet, conservons les notations du n° 148; on peut toujours déterminer un entier positif ou négatif p. tel que dans l'identité

où l'on a posé a, = a — 2p-|3, yi=y — 2[j.S, la valeur absolue de a, soit plus petite que celle de ^ ; le déterminant a, 3 — ^yj est égal à I et la parité des nombres a,, y, est la même que celle des nombres a, y. De même on peut toujours déterminer un entier positif ou négatif V tel que dans l'identité

où l'on a posé p, i= [i — ava,, ô, i= ô — 2vyi, la valeur absolue

(') Voir la vingt-cinquième Leçon du Cours aulographié de M. Hermite, d'où sont tirés plusieurs des présents résultats.

ON DONNE A^ OU ^2, g^; TROUVER T OU 0),, W3. 2\l

de ^, soit moindre que celle de a, ; le déterminant a, o, — j3,yi est égal à I et la parité des nombres ^,, S, est conservée. Par ré- [xHilion de ces deux opérations on parvient nécessairement à une

substitution de la forme ( , ^, ) où a'o' est égal à i et où y' est un nombre />af/\ Si a' est égal à + i le théorème est démontré jiuisque ( , j ^ Tï'; si a' est égal à — i, il suffira de multiplier la substitution ( * ^ ) P^*^ ^^^ mêmes puissances paires tie T et de V pour parvenir à une substitution où a' est égal à + i .

548. Reprenons les notations du n° 546; nous allons montrer (|ue les fonctions Y, y' ne s'annulent jamais le long du chemin (R),

et que la partie réelle de — est du même signe que ao — [iy. En

elî'et, posons x'= Çk + Y-^)^^ ^^ désignant par X, a des nombres

réels dont le premier est (n" 524) essentiellement positif; nous

aurons

y = a\~\- bi\' = (a — b[i -^ bXi)x,

i\' = c X -r- di\' = ( c — d^ -+- d\ i) x.

[\iisque X n'est pas nul non plus que X, on voit que aX4- 6iX', par exemple, ne peut s'annuler que si 6 et a sont nuls ; s'il en était ainsi Y serait nul sur une portion finie du chemin (R) et, par suite, identiquement nul, cas que nous écartons. D'autre part,, la