Supposons maintenant que l'on ait

en sorte que, au point Xq, les fonctions Y, i\' coïncident avec X, /x'; les valeurs qu'elles peuvent acquérir en un point quelconque du plan, en suivant, à partir de Xq un chemin quelconque, sont de la forme aX4- bi^ , cx-t- dils!, où «, b, c, ofsont les coefficients d'une substitution linéaire appartenant au type i" du Tableau (XXg); réciproquement, on peut leur faire acquérir toutes les valeurs de cette forme, en suivant un chemin convenable, comme il résulte de la composition d'une substitution de ce tjpe au moyen des puissances paires des substitutions T et V. Aucune

de ces valeurs n'est nulle; enfin, le rapport — a toujours sa partie réelle positive, et l'on peut, par conséquent, construire les fonctions ^ iv\~)' Dès lors, on voit que l'équation A'--('7) = x est

aussi bien vérifiée en prenant pour x le rapport — que le rapport — ; en effet, puisque l'on a

Y , tX

et que la substitution ( ,) appartient au type i" du Ta-

bleau (XXc), on

kU'-^\ = k^-^'^

résultat que la théorie de la continuation permettait de prévoir.

550. Plaçons-nous maintenant à un autre point de vue et en continuant de désigner par X, x' les mêmes fonctions de x, univoques dans tout le plan (S) complété comme il a été expliqué par l'adjonction du bord supérieur d'une des coupures et du bord inférieur de l'autre, envisageons l'équation

tx'(x)

g^\ TROUVER T OU Wi, &l>3. 2i3

où X esl l'inconnue et où t est un nombre donné dans lequel le coefficient de i est positif.

Si cette équation admet une solution, cette solution ne peut tire que le nombre A'-(t), en vertu de l'identité en x,

rnc7x)i

Pour savoir si A--(t) est effectivement une solution, remplaçons x par k- (t) dans le premier membre de l'équation proposée : ce premier membre prend une valeur déterminée t, , puisque (XXXVIIe,:) le point A'^(t) n'est ni le point o, ni le point i, et appartient par suite au plan (s) complété. Mais la même identité en x, quand on V remplace x par k^{~), montre que l'on a k-ijz) = A-2(t)) et, par conséquent, que l'on peut passer de x à t, par une substitution linéaire du tjpe 1°: l'équation proposée n'est pas nécessairement vérifiée, mais, le nombre t étant donné, il existe quatre nombres entiers a, b, c, d qu'on peut regarder comme les coefficients d'une substitution du t^'pe i", et tels que l'on ait

cx(x) -\- di\'(y.)

a.x.(x) -+- bi\'{y.)

(|uand on remplace X par /r^^^^. q^^ encore, il existe un chemin

fermé partant de x et y revenant, tel que l'on ait, pour x = k^Ç-z),

en désignant par y(x), y'(x) ce que sont devenues les fonctions \(x), x'(x) continuées le long de ce chemin.

Inversement, toute équation de la dernière forme, où l'on entend que y(x) et y'(x) peuvent être obtenus par des continuations ((uelconques de x(x), x'(x) ramenant x à son point de départ, admet donc la solution x = A*(t). Elle n'en admet pas d'autres : en effet, Y, y' ne peuvent avoir que des déterminations de la forme r/X -+- bi\', ex + dix', où a, b, c, d sont des entiers appartenant au type i"; mais l'égalité

iY'(x) cx(/.) -h c/tx'(x) ■ "~ \(x) "~ ax(x) -(- 6tx'(x) équivaut à celle-ci

tx'(x) — r -\- az X(x) ~ ^d—TT^

2l4 CALCUL INTÉGRAL.

qui ne peut admettre d'autre solution que

d'après l'observation faite au début de ce numéro; les nombres <i, — b, — c, a appartiennent d'ailleurs, comme les nombres a, b, c, d, au type i°; on a donc

L'équation ' = t, où y et y' sont les fonctions de x précédemment définies, où x est l'inconnue et x un nombre donné dans lequel le coefficient de i est positif, admet donc la solution univoque X = A"^(t) et n'admet que cette solution. (^ résultat, signalé par M. Fnchs (') est un point très particulier de la théorie des fonctions auxquelles M. Poincaré a donné le nom àe fondions fuchsiennes.