III. — Calcul effectif de t, wi

551. Lorsque la valeur absolue de x est plus petite que i, les formules (CXXo) permettent de calculer (-) x(x) et x'(x).

C) Journal de Crelle, t. 83, Lettre à M. Hermile.

(^) Quoique le calcul des x(ic), x'(x) par les séries X(x), ix(x), lorsque l'on a 1 x I < I, ne soit pas avantageux, à moins que x ne soit très petit, il convient de compléter un peu ce que nous avons déjà dit à ce sujet (n"' 536-537).

Des formules (CXX,) on déduit immédiatement les relations

X (x) = 7 — J log(i-y.) — a(x),

x'(-/.) = 2log2- ^ii^ log.r+?(x), en posant

«^■'')=Ï] {ht-'^)^"^ PC.)=2^a„(log2 6Jx". n = 1 « = 1

Les séries que l'on obtient en remplaçant x pari dans a (x), P(x), séries dont les différents termes sont réels et positifs, sont d'ailleurs convergentes, comme il

ON DONNE A' OU g^t gs'i TROUVER T OU Oi, O^. .2l5

Observons en passant que les deux premières formules (GXX4) montrent que l'on ax|ij ^xM-j-La valeur correspondante de

-Tri'

q = e " est e '^ := 0,0432189. . , ; on en déduit

(GXXI,) X' (^) = X (i) = ^ 2r|(o) .= , ,854075.

Les formules (CXX,) permettent également de calculer directement la valeur de q lorsque le point x est l'un des deux points

communs aux trois lignes Cq, C, , D. Pour les racines e ^ de l'équation ^ 5^, les deux dernières de ces formules fournissent

en effet la relation

résulte des inégalités démontrées au n°537; désignons leurs sommes par a(i), P(i); ces nombres seront, d'après le second théorème d'Abel (n" 32), les limites respectives de a(n), P(x) quand x tend vers i par valeurs positives plus petites que 1. II est aisé de montrer que l'on a

a(.).. ^(.) = J -2 !og2- 0,1845....

Il suffit pour cela d'égaler l'expression de x'(x) à celle que l'on obtient en remplaçant X par I — X dans l'expression de x(x), puis de supposer x réel, positif plus petit que i, et de faire tendre x successivement vers o et i.

Ces valeurs de a (i), p (i) permettent, en raisonnant comme au a" 553, d'évaluer facilement une limite supérieure de l'erreur que l'on commet en ne conservant, pour le calcul de a(x)ou de p(x), que les premiers termes du développement. On a d'ailleurs, en remplaçant les coefficients de a(x), p(x) par leurs valeurs

approchées a - — prei, '^^ 2 ÏO" ^

a(x)= 0,107 3ox ^(x)— 0,096 57X

• -h 0,0291 IX- -t-o,o3o89x»

-ho,oi3 27x' -;-o, 01494^'

-H 0,004 87 X' -j-o,oo5 75x'

-4-0,003 4ox« -(-o,oo4o6x»

-t- 0,002 5ox' +o,oo3o2x'

2l6 CALCUL INTÉGRAL.

on en déduit ^ 1= ± /e ^ = ih i x 0,065829. La relation

que l'on peut déduire de chacune des deux dernières relations (CXX4), met d'ailleurs en évidence ce fait que les deux quantités

sont imaginaires conjuguées. La formule X = - .^3(0) permet de calculer la première d'entre elles. On trouve

fcxxn r" ^^ ^y = 1, 54369 d:txo,4i363,

\ x'\e V = 1,54369 :p txo,4i363.

Les nombres décimaux contenus dans ce numéro sont approchés à une demi-unité du dernier ordre près.

D'une façon générale, les formules du Tableau (CXX4) permettent de ramener le calcul de x(x), x'(x) au cas où l'on a |x|<<i. égalités

entraînent respectivement les inégalités

en sorte que, x étant supposé différent des deux points communs aux trois lignes Cq, C(, D, un au moins des nombres x, i — x,

— ^> -> ) est moindre que i en valeur absolue; dési-