Nous ferons, sur cette formule, quelques observations

On a supposé, pour l'établir, que les pôles de la fonction doublement périodique /(m) étaient situés à l'intérieur d'un même parallélogramme des périodes; mais il est clair que si, dans le second membre, on substitue aux nombres ai des nombres qui leur soient respectivement congrus, modulis 2Wt, 2 (03, on altérera tout au plus la constante C; d'ailleurs (n° 78), aux environs de deux pôles congruents a,, a] les développements de la fonction /(m) suivant les puissances ascendantes de u — <2,, a — a^ sont identiques; on pourra donc appliquer la formule de décomposition à un système quelconque de pôles de /(m), pourvu que ce système comporte un représentant et un seul de chaque pôle de/(w); on obtiendra la même forme avec les mêmes coefficients; la constante C pourra seule être changée.

Il est d'ailleurs bien aisé de voir que, sauf la substitution insignifiante qui consiste à i^emplacer quelques pôles par des points congruents et à changer alors la constante additive, la décomposition d'une fonction doublement périodique en éléments simples ne peut se faire que d'une façon. S'il y avait, en effet, deux telles décompositions, la différence entre les deux expressions comporterait quelque pôle.

Les propriétés de la fonction (^w, qui sont intervenues dans la démonstration, sont les suivantes : cette fonction se reproduit à des constantes additives près, quand on ajoute les périodes à l'argument; elle n'a qu'un pôle simple dans le parallélogramme des périodes; ce pôle est congru à zéro, modulis 20),, 2103; le résidu correspondant est un. Les deux premières propriétés sont les plus essentielles; le lecteur apercevra de lui-même les légères modifications qu'il y a lieu de faire subir à la formule quand on substitue à la fonction (^(w) une autre fonction qui possède seulement les deux premières propriétés.

Lorsqu'une fonction doublement périodique sera décomposée en éléments simples, on pourra l'intégrer; les termes en ^'{u — a), ^"{u — a), ... s'intègrent immédiatement; quant à ^(« — «), c'est la dérivée de ]og<7(M — a).

360. Une fonction doublement périodique est dite du /i'^Ane ordre lorsqu'elle a , dans le parallélogramme des périodes, n pôles (ou n zéros). Chaque pôle (ou chaque zéro) doit être

compté autant de fois qu'il j a d'unités dans son ordre de multiplicité.

Il n'j a pas de fonction doublement périodique du premier ordre.

La formule de décomposition en éléments simples m*et en évidence l'existence de fonctions doublement périodiques de tous les ordres, à partir du second.

Les fonctions du second ordre appartiennent à deux types distincts suivant que leurs deux pôles sont simples, ou qu'elles n'ont qu'un seul pôle double.

Dans le premier cas, les résidus relatifs aux deux pôles a,, a^. seront égaux et de signes contraires; la fonction sera de la forme C + A[Ç(i/ — «i) — ^(a — oîa)]- Si h\ est un zéro de cette fonction, l'autre zéro sera congru [modulis 2 w, , 2 103) k a\-\- a^ — b^.

Dans le second cas, le résidu de la fonction relatif au pôle unique a sera nul, et la fonction sera de la forme C -+- Bj3(w — a). Si b^ est un zéro de cette fonction, l'autre zéro sera congru à ia — ^,. C'est à ce dernier type qu'appartiennent les fonctions îrl^u).

On voit aussi que si/(w) désigne une fonction doublement périodique du second ordre, d'ailleurs quelconque, toute autre fonction doublement périodique du second ordre ayant les mêmes pôles pourra être mise sous la forme A -4- B/(?^), où A, B sont des constantes. Il suffira, en effet, de déterminer la constante B de manière que la différence entre cette fonction et la fonction donnée n'admette plus qu'un pôle simple, et, par conséquent, se réduise à une constante.

On classera de même les fonctions de chaque ordre.

III. — Fonctions doublement périodiques de seconde espèce. Décomposition de ces fonctions en éléments simples.

361. M. Hermite a désigné sous le nom de fonctions doublement périodiques de seconde espèce les fonctions univoques, sans autre singularité que des pôles, qui se reproduisent multipliées par des constantes quand on augmente l'argument d'une période. Par opposition, les fonctions doublement périodiques ordinaires

sont dites que\c[uc(ois de première espèce. Nous sous-entendrons souvent les mots : doublement périodiques.

Si l'on désigne par,^(a) une fonction de seconde espèce, par [jii, a,5 des constantes auxquelles on donnera le nom de multiplicateurs, on devra avoir

^{U -1-20)1) = lli^(u), S{u-\- 2CO3) = ]J.^^{U).

On tire de là, en désignant par /i,, n^ des entiers quelconques, positifs ou négatifs,

5'( Il -+■ 1 n 1 co 1 -t- 2 «3 103 ) = [ji'î' [i.3' ^( a ) .

Si, en particulier, on suppose /?, =: /?3 = — 1 ; si l'on continue de poser

0) 1 -r- W2 H- CO3 = o ;

si, enfin, on désigne par Ua l'inverse du produit pi., JJI3, on aura

Il est parfois commode de dire aussi de [j.2 qu'il est un multiplicateur de la fonction #(«).

Il est clair que, si C désigne une constante quelconque, J^(«-f-C) désignera une fonction de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs a.| , [Jt.3 que J[u) ; ê( — w), ^{C — u) seront

des fonctions de seconde espèce, avec les multiplicateurs — ? — •

362. Le produit ou le quotient de deux fonctions de seconde espèce est aussi une fonction de seconde espèce; les multiplicateurs de la nouvelle fonction sont les produits ou les quotients des multiplicateurs correspondants des premières.

Une fonction exponentielle de la forme e<^«+'^', où c et c' sont des constantes, est une fonction de seconde espèce, dont les multiplicateurs sont e^cw,^ e^cwj gi l'on se donne une fonction de seconde espèce S{u) dont les multiplicateurs soient [^i^ et [Xg, en la multipliant par e''"^^', on lui fera acquérir les multiplicateurs ^j.( e I, jj.3e 3.

Le premier multiplicateur sera égal à l'unité, si l'on déterminée par la condition acw, = — logiX), et cela, quelle que soit la détermination du logarithme.

Nous dirons d'une fonction de seconde espèce qu'elle est réduite si son multiplicateur relatif à la période 2(0, est égal à l'unité. On peut toujours réduire une fonction de seconde espèce en la multipliant par une exponentielle convenable. S'il arrivait que, pour l'une des déterminations des logarithmes, on eût

il est clair qu'en multipliant la fonction i{u) par e^«, où — c désigne la valeur commune des deux rapports précédents, on obtiendrait une fonction de première espèce /*(«); inversement, ^(m) s'obtiendrait en multipliant /(m) par e~^", et ce cas ne nous fournirait rien d'essentiellement nouveau; nous pourrons donc l'écarter dès que nous le voudrons.

Il est à peine utile de faire remarquer que tout point congruent à un pôle ou à un zéro d'une fonction de seconde espèce est luimême un pôle, ou un zéro, du même ordre de multiplicité.