La dérivée logarithmique d'une fonction de seconde es

pèce5'(w) est évidemment une fonction de première espèce /"(i^), dont les pôles sont les zéros et les pôles de la fonction ^(u); le résidu de chaque pôle de /(u) est l'ordre de multiplicité du zéro ou du pôle correspondant de §{u), cet ordre étant affecté du signe -4- s'il s'agit d'un zéro, du signe — s'il s'agit d'un pôle : donc, puisque pour une fonction de première espèce la somme des résidus doit être nulle pour les pôles qui appartiennent à un même parallélogramme, on voit que, pour une fonction de seconde espèce, dans le parallélogramme des périodes, le nombre des pôles doit être égal au nombre des zéros, chaque pôle ou chaque zéro étant compté autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité.