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gnons-le par x, ; les formules (CXX2) permettront de calculer x(x,), x'(x,); en appliquant les formules (CXX4) on en déduira
oo2. Mais il vaut mieux porter l'effort sur la détermination du nombre
ON DONNE k^ OU g-^, g^', TROUVER T OU Wj, W3. 217
Quand on aura, en effet, déterminé q, on aura X par la formule
X = -&|(o) = - {i ^ -iq -\- iq'' -¥■ iq^ + . . .y ,
OÙ la série qui figure dans le dernier membre converge très rapidement pour peu que q soit petit. On aura ensuite
-T.- =l0gy,
ou
1 faut prendre dans le second membre la valeur principale du logarithme, puisque, dans le premier, le coefficient de i est compris entre — tc et tt; cette formule déterminera donc x' quand on a calculé q el\ : tout est bien ramené au calcul de q.
Observons en passant que, connaissant q, on peut avoir, en désignant par /■ un nombre rationnel quelconque, à calculer q'^
(XXVIII3); en particulier, on peut avoir besoin de q' pour le calcul des fonctions Sî( (m), 2r2(?/). La détermination de ^'' ne comporte aucune ambiguïté; elle dépend, il est vrai, de la valeur que l'on choisit pour Targument de q\ mais c'est toujours la valeur comprise entre — t: et + - qu'il faut prendre pour cet argument, en vertu du théorème démontré au n" 544.
553. Nous allons d'abord donner une série entière qui permet le calcul de ^, quand on a |x|< i. (Schw^arz, Formules, p. 54-66.) Dans ce cas, on a, à cause des formules (CXX2),
On a vu d'ailleurs, au n" 538, que yrr e^t développable en une série entière en x, dont on peut obtenir autant de termes que l'on veut; en remplaçant et ordonnant suivant les puissances de x, on aura une expression de la forme
(GXXI2) '/ "= S ^« ■''■"'
2l8 CALCUL INTÉGRAL.
OÙ tous les coefficients Cn sont rationnels et positifs. Cette formule est évidemment valable tant que l'on a [ x | << i ; de plus, lorsqu'on suppose que x tende vers un par valeurs positives croissantes,
le rapport yhi ^^'^^ i^° 538) vers loga, donc q tend alors vers giiog2- j. \\ fa^it pour cela, puisque tous les coefficients C« soru
positifs, que la série N^ C«x" reste convergente pour x = i et que
sa somme soit égale à i. On peut d'ailleurs calculer autant de coefficients que l'on veut et l'on trouve
On observera que, si l'on calcule ^ par cette série en s'arrétanl au terme en x", l'erreur commise sera moindre, en valeur absolue, que
I x'^+i I 2 Gn+p= I x«+i 1(1 Cl- G,-. . .- C„),
c'est-à-dire, pour les valeurs de n égales à i, 2, 3, 4> moindre respectivement que
ib ' d'2 1024 ' 2048 '
En vertu des formules (GXX^), on peut écrire
— 71 ±-Ki - lï
g = e "Uj^e \y.-ij = — e \y.-iJ:
il résulte de là, quand on suppose à la fois j x | << i , — - — <C • ? que l'on a
n — 1 it = l
Cette identité, si l'on ordonne suivant les puissances de x, con-
OX DONNE A- OU gi, gi] TROUVER T OU Wi, 0)3. . 219
(luit à la relation
r,^/ ,\nir ^LZLLr (n — i)(n — o.)^
(rt — OCw — 2)('n — 3) „
