I.2...(rt

qui permet de calculer C« au mojen de C», Co, ..., C«) lorsque // est pair.

^o4f. Quand |x] est plus petit que i, on peut tout aussi facilement calculer la valeur d'une puissance positive quelconque de q. Soit, en effet, /• un nombre positif quelconque; on a (XXVIII3)

— TZr— '"^T 'log —

où log-^ doit être remplacé par sa valeur principale; dans ces conditions, on a

ifi'

en désignant par 16'' un nombre positif et par x' la détermination spécifiée au n° 523; on aura, par conséquent,

(GXXI,) gr^^e''y^K

11 est clair que le second membre est le produit de x'" par une série entière en x, dont les coefficients sont tous positifs, que cette série doit rester convergente pour x= i, et que sa somme est alors égale à i .

En particulier, pour r=\^ on aura l'important développement qui suit

(GXXI3) ^* = 2

OÙ l'on sait que tous les coefficients ô« sont rationnels et positifs, et que l'on a

i:-Gr=

On trouve sans peirn

6o=i, oi = 2, 02=i5, O3=i5o, ...;

en raisonnant d'ailleurs comme tout à l'heure, on reconnaît qu'en

prenant, pour calculer ^^, un, deux, Irois, quatre termes, on commet des erreurs respectivement moindres en valeur absolue que

555. Le procédé que nous avons indiqué pour calculer Oo, 6,, Oo, 83, ... n'est pas le seul qu'on puisse suivre :

Reportons-nous, en effet, à la première des relations (CXIX,) ,que Ton peut écrire

(H- -j^^r -f 2g''^-L- 25-9 -H. . .)-?— - = ^* -h ^^ H- <7 * -f-. . .; g = e »"". Nous savons qu'il existe une série entière en ^, savoir

qui, mise à la place de q" dans l'égalité précédente, la transforme

en une identité; en égalant dans les deux membres les coefficients

v/x des mêmes puissances de—, on obtient une suite d'équations

qui permettent de calculer de proche en proche les coefficients Oo, §4, 83? • • • • C'est ce procédé qui met en évidence, par une généralisation immédiate d'un théorème célèbre d'Eisenstein, ce fait intéressant que les coefficients 8« sont des nombres entiers (').

(') Voici, avec les petites modifications nécessaires ici, le résumé de la démonstration du théorème d'Eisenstein, d'après M. Hermite {Cours autographié de la Sorbonne).

Supposons que y soit lié à x par la relation

où i, j peuvent prendre toutes les valeurs entières positives ou nulles, où hs coefficients A- sont des constantes parmi lesquelles A„ „ et A» , sont nulles; sup-