La fonction

e''»a'(M-4- Mo) ^S\){u) = G — : j

où c, c et Mo sont des constantes quelconques, n'admet qu'un pôle dans le parallélogramme des périodes, à savoir le point congruent à zéro; c'est une fonction de seconde espèce, dont les

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCHY. - l3

mulliplicateurs sont respectivement

ainsi qu'il résulte des formules (XXII)). Ces multiplicateurs peuvent être identifiés à deux nombres quelconques [jl,, pig, en supposant

Il ' I

cwi+ UûTii — - logfxj, caj3-i- «o'ia = - 'ogl-^si

d'où l'on tire

C = -r- (r,i l0g|X3— T^3l0g[Xi), Mq = "^ ( «3 log [a, — Wj logi^a),

à cause de la relation r,) Wg — 7)3(0, = — • Les déterminations des logarithmes peuvent d'ailleurs être choisies arbitrairement.

On observera que Uq n'est congru à zéro, modulis aw,, 2W3, que si, pour une détermination convenable des logarithmes, on a

log[^i ^ l^g]^.

Dans ce cas, la fonction ^S^i^u) se réduit à une exponentielle de la forme e<^«+'''. S'il n'en est pas ainsi, la fonction \S^o{u) admet pour zéro le point — Uq et tous les poinls congruents; elle admet pour pôles simples les points congruents à zéro.

363. Si l'on suppose que [x,, ^-^ soient les multiplicateurs d'une fonction donnée de seconde espèce, ^{u); si l'on détermine, comme on vient de l'expliquer, les constantes c et Mq de manière à former la fonction i)Î)(m), les fonctions

^y #(«)lft,(-«), ^"(«)D],(Co-«),

OÙ Go désigne une constante, seront des fonctions de première espèce, en sorte que l'introduction de la fonction ^S^>{u) ramène l'étude des fonctions de seconde espèce à celle des fonctions de première espèce.

Nous allons d'abord déduire de là la proposition suivante, qui est l'analogue du théorème de Liouville pour les fonctions doublement périodiques ordinaires :

l4 CALCUL INTÉGRAL.

Eji dehors de la fonction exponentielle e'""+'''^ il n^ existe pas de fonction transcendante entière qui soit doublement périodique de seconde espèce.

Si, en effet, §{u) est une fonction transcendante entière, la fonction doublement périodique ordinaire S'{u)\S^{ — u) ne peut avoir dans le parallélogramme des périodes qu'un pôle unique et simple, à savoir le pôle de i)l)( — u)] elle se réduit donc à une constante C différente de zéro. Si Uq n'était pas congru à zéro, pour u^^Uo la fonction il'o ( — u) serait nulle et le produit a)Jî( — u)É{u) ne pourrait être égal à C, puisque la quantité §{uo) est finie. Il faut donc supposer que Uq soitcongru à o; c'est le cas où la fonction ill)(w) se réduit à une exponentielle de la forme qcu+c' .^ il en est de même de la fonction §{u).

3G6. On voit aussi que, quelle que soit la fonction de seconde espèce ^{u), si ses multiplicateurs pi,, u.3 vérifient, pour une détermination convenable des logarithmes, la relation

en d'autres termes, si u^ est congru à zéro, modulis aw,, 20)3, la fonction S'{u) sera le produit d'une fonction doublement périodique ordinaire f{u) par une exponentielle de la forme 6^^"+^', puisque le rapport

est une fonction doublement périodique ordinaire, et que ^S\){u) se réduit à une exponentielle; c'est d'ailleurs ce que nous savions déjà (n° 362). Désormais nous écarterons ce cas.

Supposons donc d Uq différent de zéro, nous poserons

et l'on aura

La fonction r.X,{u) admet le point o pour pôle, et le résidu correspondant est I. On reconnaît aisément qu'il n'existe pas d'autre

APPLICATIONS DU THÉORÈME DE CAUCHY. l5

fonction de seconde espèce aux multiplicateurs a, et [jLg, admettant pour pôle simple le point zéro et les points congruents, n'en admettant pas d'autres, et telle enfin que le résidu relatif au pôle o soit égal à i. En effet, le rapport d'une telle fonction à A,(u) serait nécessairement une constante, puisque ce serait une fonction doublement périodique ordinaire sans pôle, et l'on voit que cette constante doit être égale à i, à cause de l'hypothèse relative aux résidus.

367. Si, maintenant, ^'(a) est une fonction de seconde espèce, aux multiplicateurs u,, pis, et si l'on désigne par a: une constante quelconque, la fonction ^(u)A,{x — u) sera une fonction de première espèce; la somme de ses résidus à l'intérieur du parallélogramme des périodes sera nulle. En calculant cetle somme, exactement comme on l'a fait pour la fonction /( m) î:^(.r — u), on arlivera à cette conclusion que la fonction ^{u) peut se mettre sous la forme

OÙ <2| , a.y, . . ., «V désignent les pôles distincts de la fonction ^(u) situés à l'intérieur du parallélogramme des périodes, où le nombre entier positif a/ est l'ordre de multiplicité du pôle a/, où A>'(u — «<), J<o"{u — ai), ..., Jl9^°'«~*'(?« — a,) désignent les dérivées par rapport à u de la fonction X(ii — «,) jusqu'à l'ordre a,— i, où enfin A^'', A'/', . . ., A]^l i désignent les constantes définies par le développement

:^{ai-^h) = AC' i ^ A'/' D i +. . .+ Af^], D'^-D l + c£{h),

relatif aux environs du pôle «/; dans ce développement, qui procède suivant les puissances ascendantes de h, ^(h) désigne une série entière en h]Dj, • ••> D^^'j^"-.- désignent les dérivées successives, par rapport à h, de j jusqu'à l'ordre a/ — i.

La fonction if(u) est ainsi décomposée en éléments simples.

Réciproquement, une expression telle que le second membre de l'équation (a), lorsqu'on y remplace M par « -f- ato,, «^+2103,

l6 CALCUL INTÉGRAL.

se reproduit multipliée par jjl,, u.3, puisqu'il en est ainsi de la fonction X(u) et de ses dérivées par rapport à u. Ce second membre représente donc une fonction de seconde espèce dont les multiplicateurs sont ceux de la fonction J{o{u).

368. Cette formule suggère des observations toutes pareilles à celles qui ont été faites au n" 359.

D'abord, si l'on substitue au pôle ai un point congruent

a'i = ai -+- a/îicoi-i- 2/13(03, il est clair, à cause de la relation

A, ( u ~ ai) = tjLj""i ix^"» A>{u — ai),

que, dans la formule (a), les nombres A('>, A',", . . . , Aâ',', 1 devront être multipliés par [Ji-"'[J^3'; mais, d'un autre côté, l'égalité

cT(m + 2/li Wi+ 2/^3(03) = I.X"'(J."3 ^(u)

montre de suite que, dans le voisinage du pôle a'^ , les coefficients du développement de ^{u)^ suivant les puissances de u — a| , s'obtiennent en multipliant par [j."' pi"» les coefficients du développement de S{u) suivant les puissances de u — «/, dans le voisinage du pôle a,. Par conséquent, on pourra appliquer la formule (a) et la règle pour déterminer les coefficients en prenant pour les points a,, «2, ..., «v un système quelconque de pôles de la fonction ^(u), pourvu que ce système contienne un représentant et un seul de chaque pôle. On voit aussi que, sauf la modification que nous venons d'indiquer, la décomposition en éléments simples ne peut s'effectuer que d'une seule façon. On reconnaît enfin que les propriétés essentielles de la fonction X(m), qui servent dans cette décomposition, consistent à admettre les multiplicateurs [JL,, 1K3 et à n'avoir, dans le parallélogramme des périodes, qu'un pôle simple. L'hypothèse que ce pôle est le point zéro et que le résidu correspondant est i ne sert qu'à simplifier la formule.

369. Quand les multiplicateurs li.,, Ug d'une fonction de seconde espèce ^{u) sont donnés, il y a une relation entre les zéros et les pôles. En effet, puisque la fonction ^(u) X{ — u) est de première

espèce, dans le parallélogramme des périodes, la somme de ses pôles, diminuée de la somme de ses zéros, esL congrue à o, modulis ato,, 2 W3. Chaque pôle et chaque zéro doivent figurer dans chacune des sommes autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité. Comme le pôle de X( — u) est congru à o, et son zéro à ?^„, on voit que la somme des pôles de la fonction ^(i^) diminuée de la somme de ses zéros doit être congrue à Mq ; en d'autres termes, en désignant un pôle quelconque par a, un zéro quelconque par b, par Sa, S6 les sommes des pôles et des zéros contenus dans un parallélogramme, chaque pôle et chaque zéro figurant dans la somme autant de fois qu'il y a d'unités dans son ordre de multiplicité, on a

Sa — 2^» = T- (tOalogiJLi— coi logjjis) (modd. 9,w,, 2103).

Ce théorème, qui est l'analogue de celui du n° 3oo pour les fonctions de première espèce, subsiste si l'on a u^ = o. On le retrouverait, ainsi que le théorème sur l'égalité des nombres de pôles et de zéros, en appliquant l'égalité fondamentale du n° 352 aux

„ . i'{u) ff'iu) 5,11 p

fonctions u-^ -, -. ; c est un calcul que nous aurons 1 occa-

ff{u) S{u) ^

sion de développer bientôt dans un cas plus général.

370. Le nombre des zéros d'une fonction de seconde espèce étant égal au nombre de ses pôles, on peut classer les fonctions de seconde espèce, comme celles de première, d'après le nombre de leurs pôles. Une fonction de seconde espèce qui a n pôles ou n zéros est dite du n^ème ordre, La formule de décomposition en éléments simples met en évidence l'existence de fonctions de seconde espèce de tous les ordres. X{u)es\, une fonction de seconde espèce, du premier ordre.

371. Cette fonction A,{u) joue un rôle considérable dans la théorie des fonctions doublement périodiques. Signalons quelques cas particuliers.

Si la fonction X{u) est réduite, elle jouera le rôle d'élément simple pour les fonctions réduites; on a alors, puisqu'on peut supposer logpi) = o,

(^1 log[^3 T^i log!^3 — y,i?<o .

T. CL M. - III. î

l8 CALCUL INTÉGRAL.

la fonction A,(ii) se présentera donc sous la forme

ou encore, en posant

sous la forme

X = 2Ki>, To = 2 K (Jo ,

20)1 31(^^)271(^^0) ~^^' ""' II(^}H(^o)

372. Considérons encore le cas où les multiplicateurs jj.,, jx;, d'une fonction de seconde espèce seraient des racines n '""*''* de l'unité, en sorte que la puissance n'"'^" de cette fonction serait une fonction doublement périodique ordinaire. Soient, par exemple, en désignant par/?, q des nombres entiers non divisibles tous les deux par /i,

IM = e " , p.3 = e « ;

nous désignerons, dans ce cas, l'élément simple par .l,^^y(«) ; on trouvera sans peine

^/ 2;> 0.1 + 2^0)3 \ oAo/j nr( U) —

il sera lui-même la n''""^ racine d'une fonction doublement périodique ordinaire.

Dans le cas où n = 2, on peut prendre, pour le système de nombres entiers (p, q), les trois systèmes (o, i), (i,o), (i,i), et l'on retombe ainsi sur les fonctions Çao(?^)> q^i sont, en effet, relativement aux périodes 2 0j, , awg, doublement périodiques de seconde espèce, avec les multiplicateurs ±: i . Les fonctions <^\op^q{u) sont donc, comme le remarque M. Kiepert, qui a montré leur rôle dans la théorie de la multiplication et de la transformation, la généralisation immédiate des fonctions iao('0'

373. Les propriétés suivantes de ces fonctions résultent immédiatement de leur définition, des propriétés élémentaires de la

Tonction du et de la formule (VII,) :

■îq-Ki

2(/> — f/lTt/

cl,;,, y {u -\- ■ioi-î) = A^,>,q {u)e " ,

A>jo,r/(«^ -+- 2W3) = «^/J,7(«)« " ' Xp+„,,,(U) = cil,/,,^(<0,

Xp,,,(-U) =X-p,-q(u),

Ao/,,7 ( U ) a%>-p, -,j(U)=pU — p( n— 1 n—l

P « — JM '

Celte dernière égalité suppose que n est un nombre impair.

374. Désignons enfin par A,(ii, 11^) ce que devient la fonction générale X{i/) quand on j remplace la constante c par Z{uo); posons, en d'autres termes,

On observera que la dérivée logarithmique de X{if, Uo) est

éffaie (VIIi) à ~ — -; on en conclut aisément que la fonc-

& ^ ■^^ 1 pu — puo ' ^

I pu — p Uo

1 pu — p Uq

lion X{u, Uq) vérifie l'équation différentielle linéaire

du''

[■ipU -f-pMo] X{U, Mo)-

La fonction X[u, Mo)i coiisidéiée comme une fonction de Wy mérite de fixer un instant l'attention. Il suffit de se reporter aux égalités (XII) pour voir qu'elle jouit de la propriété qu'exprime

l'égalité

X{u, «0-+- '-iWa) = A,(«, Mo) (a = I, -î, 3).

Elle devrait donc être regardée comme doublement périodique, si nous n'avions pas exclu les fonctions, même univoques, qui admettent des points singuliers essentiels; tel est évidemment le cas de la fonction X{u^ Uq) qui, puisque J^«o figure en exposant, admet comme points singuliers essentiels tous les pôles de ^«o- On

observera que, dans le parallélogramme des périodes, la fonction

X{u, Uo)j regardée comme une fonction de Uq, n'admet qu'un

zéro, congru à — u^ et un pôle congru à o [modulis 2w,, 2W3).

On reconnaît de suite, à cause de l'égalité (Vlli), que l'on a

X{u, «0) «^'^(M, — uo) — pu — pMo.