III. Les six substitutions
comme on le vérifie facilement.
rV. D'après les théorèmes des numéros 281 et 283, les puissances, tant positives que négatives, d'une substitution modulaire ou d'une substitution de déterminant égal à — i forment un groupe.
V. Toutes les substitutions modulaires forment aussi un groupe. Ce groupe est appelé le groupe modulaire,
VI. De même l'ensemble de toutes les substitutions modulaires cl de toutes celles de déterminant — i forment un groupe.
296. Congruence des substitutions par rapport à un module. — On dit que deux substitutions à coefficients entiers
( •^j' (,' ^') ^^^^ congrues par rapport à un module /î.
ai 4 CHlf* 1^1. — LES FORMES QUADIATIQUES IfJVAlSES.
graud commun diviseur de y el S soil premier avec /î, auirerûcni dit f.|ue les trois nombres *f^ o, n soient premiers dans leur ensemble. Formons do oc d^aLord tous les couples de nombres -if, 2 in congrus deux à deux (mod n)^ qui salîsfonL à cette condition. Le nombre de ces couples esl(p2(/î) (n^^TT).
Je dis qu'à chacun de ces couples correspondent n systèmes d* valeurs (valeurs déterminées au mod n près) pour a, ^. En eflet. donnons à p une certaine valeurj la valeur de a est alors déterminée par la congruence
( mod fi h
Soil d\e plus grand commun diviseur de o et n (d peut étn* égal à ï, cela ne cbange pas le raisonnemcnlj. Pour que la con- ^ruence (4) soît possible, il faut donnera ^ une valeur telle que
yp -h î = o {modd}.
Or^ "( et d sont premiers entre eux, car sinon ^^ ^ ^t '^ Q<^ seraient pas premiers dans leur ensemble.
Donc la congruence (5) a une solution et une seule (mode/;.
Ayant pour p une valeur (mod rf), on en déduit -% valeurs (mod n .
A chacune de ces valeurs de [3 correspond une valeur de yp-f- 1 divisible par d, soit
La congruence (/j) devient alors
Sï^ rd {iuodn)
ou
■ (mod 5).
Les nombres ~ ^t -> sont premiers entre eux : donc cette congruence donne pour ot une valeur rmod ^ J *
Ayant pour œ une valeur (mod-^V on eti déduit d valeur*» (mod il).
Puisqu'il y a "2 valeurs pour ^, et qu'a chacune de ces valeurs
GONGRUETfGfiS DE SUBSTITUTIONS. 21 J
répondent cf valeurs pour a, cela fait bien n systèmes de valeurs pour p et a.
Conclusion. — Il y a ^^i^) systèmes de valeurs pour y, S, et à chacun de ces systèmes correspondent n systèmes de valeurs pour a, ^. Donc le nombre des systèmes de quatre nombres a, ^, y, 8 est égal à n^j (/i). C'est le nombre cherché.
Cas particulier. - Si /i est premier, le nombre cherché est
300. Théorème. — Si deux substitutions A et B sont cong^rues (mod/i), les produits à droite ou à gauche de ces substitutions par une même substitution C sont aussi congrus (mod/i).
Soit
On a
H:iy -(:-^:> Hl
o'v yV'^^'P
Par hypothèse,
A = B (modn),
c'est-à-dire
Q^B' f (G) "^ , > (modn).
11 en résulte évidemment
(7) v r o r^ ; (mod/in
aX-f-pvr=a'XH-p'v «fjL -h Pp = a' fx H- P'p yX -H 8v ^ y' ^ "*■ ^'^ Yfx -+-8p = y'K"+" ^'P
On voit de même que
c'est-à-dire
AC^BC (mod/i).
CA — CE (modn).
GHAl\ \U
LES FORMES Ql]AlHlATrgiIE& ÛJ.^fAlKKS.
Réciproquement^ si
AC 5^ BC f mod/î f,
r.'f sfV^jf substitution C o w/î déterminant premier avec «» 1/ <?n
résulte
A = B trîiod/i).
CVsl ce qui arrive, en particulier, lorsque la substitution C est modulaire.
Ko eflTclj par hypothèse, les conditions (7) sont remplies. MiiltipHons la première par p, h seconde par — v^ et ajoutant.
il vient
ou, puisque Ip -- p est premier avec /?,
a ï^ a' (modrt).
On voit, d'une façon analoguei que les autres conditions \^^ 5ont remplies.
On voit de même que, si
GA -^ CB ( moàn).
et que le délemiiuant de G soit premier avec /i, il en résulte
A ^B f mod n u
301* Périodicité par rapport à un module n des puissances d'une substitution modulaire, — SoitA une substitnlîou inodtJ
laire. Considérons ses puissances successives : soieni d'abord §eï puissances positives
