A^ AS A

Toutes ces puissances sout elles-mêmes des subsiiiuiions modulaires ( n" 293).

Or le nombre des substitutions modulaires incongrues (mod/t ëtant limité, il y a forcément j dans la suite (8), des lermes qui ?t reproduisent* Soîl

^m^p^m^p (modnj.

Ceci peut s'écrire

A^ X A* ^ A'" X A^ ( mod n *.

CONGRUBNCBS DE SUBSTITUTIONS. 217

On en déduit (no 300)

X^ . Xp (mod/i)

On conclut de laque la première substitution qui se reproduit (mod n) est A®. Et si Ton appelle Ap la première substitution qui lui est congrue, les termes de la suite (8) forment une suite périodique, le nombre des termes de la période étant/?.

Ce résultat s'étend sans peine à la série indéfinie dans les deux sens formée par les puissances négatives et positives de la substitution A.

302. Nous n'aurons pas besoin de déterminer plus précisément le nombre/? (*); bornons-nous à démontrer que/? est un diviseur de /i^2(/i).

En efiet, considérons la suite des p puissances de A,

Si ces /? substitutions forment toutes les substitutions modulaires incongrues deux à deux (mod/ï), on a

et le théorème est démontré.

Sinon, soit B une substitution non contenue dans la suite (9;; considérons la suite

(10) BA», BA», ..., BAP-».

Deux de ces substitutions sont incongrues (mod/i), puisque ce sont les produits à gauche par une même substitution B de deux substitutions incongrues.

De plus, une quelconque des substitutions (10) est incongrue à une quelconque des substitutions (9), car si Ton avait

BA*-A*', on aurait

ce qui n'est pas, par hypothèse.

( ' ) Pour la détermination de ce nombre /?, voir^ par exemple pour le cas de n premieri VAlgèbre supérieure de Serrkt, t. II, p. 342 et suiv.

ai 8 CHAP, Tl. — LIS WOfUSm quadratiques BlfVAtlES.

Si les subslitulionâ (9) et (10) formenl Laules les substUulioits modulaires incoDgrues deux à deux {mod /? j, on a

p ^ -àn^ii n K

t*t le lliéoromc est démontré.

Sinon, prenons une âubstiLulion C qui ne soit contenue ni din* la suite (9), ni dan» la suite (lo); considérons la suite